2023-甲卷文-02 单-复数

本题导读

本题考查复数的四则运算，以及虚数单位 $i$ 的周期性。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷文）$\frac{5(1+i^3)}{(2+i)(2-i)}=$（ ）

A. $-1$　　　　　　B. $1$　　　　　　C. $1-i$　　　　　　D. $1+i$

🔍【思路分析】

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1. 化简分子：利用虚数单位的性质 $i^3=-i$，将分子转化为代数标准形式。
2. 化简分母：利用平方差公式以及 $i^2=-1$，计算分母两个共轭复数的乘积。
3. 求商：将化简后的分子与分母相除，得出最终的复数结果。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

因为 $i^2=-1$， 所以分子的 $i^3=i^2\times i=-i$。 由此可得分子为： $5(1+i^3)=5(1-i)$

分母利用平方差公式展开： $(2+i)(2-i)=2^2-i^2=4-(-1)=5$

将分子和分母的化简结果代入原式： $\frac{5(1+i^3)}{(2+i)(2-i)}=\frac{5(1-i)}{5}=1-i$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数运算及虚数单位 $i$ 的幂运算规律。
2. 核心方法：分子、分母分别独立化简法。
3. 避坑指南：

• 虚数单位幂次混淆：谨记 $i^1=i,i^2=-1,i^3=-i,i^4=1$ 的周期性循环。
• 符号错误：在计算分母 $(2+i)(2-i)$ 时，极易因惯性思维误算为 $2^2-1^2=3$，需注意 $i^2=-1$ 导致的符号反转，即 $(a+bi)(a-bi)=a^2+b^2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源于人教A版高中数学选择性必修第三册第七章《复数》的课后基础练习题。作为高考必考的复数小题，侧重于考查考生的基本运算准确度。
2. 结论推广：

• 共轭复数性质：任何复数 $z=a+bi(a,b\in \mathbb{R})$ 与其共轭复数 $\bar{z}=a-bi$ 的积恒为实数，且满足 $z\bar{z}=a^2+b^2$。
• 一般化公式：对于形如 $\frac{m(1+i^{4k+3})}{(a+bi)(a-bi)}$ （其中 $k\in \mathbb{Z},m=a^2+b^2$）的复数运算，其结果恒为 $1-i$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 05.02 函数的四大性质

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-江西卷理-01 单-集合交集