2023-甲卷理-10 单-三角函数图象变换

本题导读

本题考查三角函数的图象变换，以及诱导公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）函数 $y=f(x)$ 的图象由函数 $y=\cos (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度得到，则 $y=f(x)$ 的图象与直线 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ 的交点个数为（）

A. $1$　　　　　　　B. $2$　　　　　　　C. $3$　　　　　　　D. $4$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求出平移后的解析式：利用“左加右减”原则，在 $2x$ 中的 $x$ 上加 $\frac{\pi }{6}$，再利用诱导公式化简为最简的正弦或余弦形式。

2. 分析直线特征：直线 $y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$ 过定点 $(1,0)$ 和 $(0,-\frac{1}{2})$，斜率为 $\frac{1}{2}$。

3. 图象定位与范围控制：

   • 三角函数 $f(x)$ 的值域为 $[-1,1]$。

   • 当 $x$ 较大或较小时，直线的值会超出 $[-1,1]$ 范围。确定直线在该范围内的有效区间：$-1\le \frac{1}{2}x-\frac{1}{2}\le 1⟹-1\le x\le 3$。

4. 数形结合与关键点校验：在有效区间内画出 $-\sin 2x$ 与直线的图象，对比特殊位置（如波峰、波谷）处函数值的相对大小，判定交点个数。

✅【答案】

点击查看答案

C

✍【详细解析】

Abstract

1. 确定平移后的函数解析式：

将 $y=\cos (2x+\frac{\pi }{6})$ 的图象向左平移 $\frac{\pi }{6}$ 个单位长度：

$f(x)=\cos [2(x+\frac{\pi }{6})+\frac{\pi }{6}]=\cos (2x+\frac{\pi }{3}+\frac{\pi }{6})=\cos (2x+\frac{\pi }{2})$

利用诱导公式 $\cos (\theta +\frac{\pi }{2})=-\sin \theta$，得：

$f(x)=-\sin 2x$

2. 确定直线的关键点：

直线 $l:y=\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}$．

• 当 $x=0$ 时，$y=-0.5$；

• 当 $x=1$ 时，$y=0$；

• 当 $y=1$ 时，$x=3$；

• 当 $y=-1$ 时，$x=-1$．

3. 比较关键点处的函数值（精细判定）：

我们重点考察直线在极值点附近的表现：

• 考察左侧交点：

  当 $x=-\frac{3\pi }{4}$ 时，$2x=-\frac{3\pi }{2}$，则 $f(-\frac{3\pi }{4})=-\sin (-\frac{3\pi }{2})=-1$．

  此时直线的 $y=\frac{1}{2}(-\frac{3\pi }{4})-\frac{1}{2}=-\frac{3\pi +4}{8}\approx -1.675<-1$．

  说明在 $x=-\frac{3\pi }{4}$ 的右侧，直线会从波谷下方穿过曲线，在 $(-\frac{3\pi }{4},0)$ 区间内存在 1 个交点．

• 考察中间与右侧交点：

  直线过 $(1,0)$，此时 $f(1)=-\sin 2$．由于 $2\in (\frac{\pi }{2},\pi )$，$\sin 2>0$，故 $f(1)<0$．

  在 $x=1$ 处，直线 $y=0$ 在曲线 $f(1)<0$ 的上方。

  在 $x=\frac{3\pi }{4}$ 处，$2x=\frac{3\pi }{2}$，$f(\frac{3\pi }{4})=-\sin \frac{3\pi }{2}=1$．

  此时直线的 $y=\frac{3\pi -4}{8}\approx 0.678<1$．直线在波峰下方。

  在 $x=\frac{7\pi }{4}$ 处，$2x=\frac{7\pi }{2}$，$f(\frac{7\pi }{4})=-\sin \frac{7\pi }{2}=1$．

  此时直线的 $y=\frac{7\pi -4}{8}\approx 2.24>1$．直线已超出波峰。

4. 判定总交点数：

• 在 $y$ 轴左侧：有一个交点（直线由下往上穿过第一个波谷附近）；

• 在 $y$ 轴右侧：在 $x\in (0,\pi )$ 范围内，曲线先减后增。直线在 $(0,1)$ 穿过一次，在 $x=1$ 之后再次穿过上升段。

  结合图象，直线与 $f(x)=-\sin 2x$ 共有 3 个 交点。

结论：

对应选项 C 正确．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：平移变换针对自变量本身的原则（$x\to x+\varphi$）、运用诱导公式对三角函数名进行切换、方程根的图象特征。
2. 核心方法：数形结合法、局部保号与值域估算法。
3. 避坑指南：

• 平移系数陷阱：平移变换时需将 $x$ 加上 $\frac{\pi }{6}$，即 $\cos \left[2\left(x+\frac{\pi }{6}\right)+\frac{\pi }{6}\right]$，切忌直接在常数项上相加变为 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{6}+\frac{\pi }{6}\right)$。
• 诱导公式符号：注意 $\cos \left(2x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin 2x$，负号不可遗漏。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查三角函数平移变换与非线性方程零点分布的定性与定量分析，属于解析与几何相结合的综合性中档偏难试题。
2. 结论推广：处理形如 $A\sin (\omega x+\varphi )=kx+b$ 的超越方程根的个数问题，通用步骤是：① 规范化正弦（余弦）曲线解析式；② 利用 $\pm A$ 限定直线的有效区间，将其限制在有限个周期内；③ 找出区间内部所有波峰与波谷的横坐标，通过计算直线在这些特征点处的纵坐标，以“大、小、大、小”的符号交替规律（零点存在性定理的几何变体）锁定每一个根的精确分布。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练 (Links)

• 2008-山东卷理-05
• 2008-山东卷理-17
• 2008-浙江卷文-07 单-三角图象交点