2023-甲卷理-16 填-角平分线定理

本题导读

本题考查正弦定理与余弦定理，以及三角形面积公式。

📌【题干】

Question

（2023年甲卷理）在 $△ABC$ 中，$\angle BAC=60^{\circ }$，$AB=2$，$BC=\sqrt{6}$，$\angle BAC$ 的角平分线交 $BC$ 于 $D$，则 $AD=$ ________．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 求解第三边：已知 $AB,BC$ 及 $\angle A$，首先利用余弦定理建立关于 $AC$ 的方程，求出 $AC$ 的长度。

2. 核心解题路径选择：

   • 路径一（面积法）：利用 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$，由于 $AD$ 分成两个 $30^{\circ }$ 的角，利用面积公式建立方程求 $AD$。

   • 路径二（角度推导法）：利用正弦定理求出 $\angle C$ 或 $\angle B$ 的度数，观察 $△ABD$ 或 $△ACD$ 的内角关系，判断是否为等腰三角形。

   • 路径三（角平分线性质）：利用 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}$ 结合余弦定理进行边长计算。

✅【答案】

点击查看答案

$2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用余弦定理求 $AC$

设 $AC=b$，$AB=c=2$，$BC=a=\sqrt{6}$．

在 $△ABC$ 中，根据余弦定理 $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A$：

(\sqrt{6})^2 = b^2 + 2^2 - 2 \cdot b \cdot 2 \cdot \cos 60^\circ$$$$6 = b^2 + 4 - 4b \cdot \frac{1}{2}$$$$b^2 - 2b - 2 = 0

解得 $b=\frac{2\pm \sqrt{4-4(1)(-2)}}{2}=\frac{2\pm 2\sqrt{3}}{2}=1\pm \sqrt{3}$．

因为 $b>0$，所以 $AC=1+\sqrt{3}$．

第二步：求解 $AD$（多种方法）

方法一：等面积法（通法）

设 $AD=x$．因为 $AD$ 是 $\angle BAC$ 的平分线，所以 $\angle BAD=\angle CAD=30^{\circ }$．

由 $S_{△ABC}=S_{△ABD}+S_{△ACD}$ 得：

$\frac{1}{2}AB\cdot AC\sin 60^{\circ }=\frac{1}{2}AB\cdot AD\sin 30^{\circ }+\frac{1}{2}AC\cdot AD\sin 30^{\circ }$

代入数据：

$\frac{1}{2}\cdot 2\cdot (1+\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}=\frac{1}{2}\cdot 2\cdot x\cdot \frac{1}{2}+\frac{1}{2}\cdot (1+\sqrt{3})\cdot x\cdot \frac{1}{2}$

约去 $\frac{1}{4}$：

2\sqrt{3}(1 + \sqrt{3}) = 2x + (1 + \sqrt{3})x$$$$2\sqrt{3} + 6 = (3 + \sqrt{3})x$$$$x = \frac{2\sqrt{3} + 6}{3 + \sqrt{3}} = \frac{2(\sqrt{3} + 3)}{3 + \sqrt{3}} = 2

．

方法二：正弦定理角度分析法（巧解）

在 $△ABC$ 中，由正弦定理 $\frac{BC}{\sin A}=\frac{AB}{\sin C}$：

$\frac{\sqrt{6}}{\sin 60^{\circ }}=\frac{2}{\sin C}⟹\sin C=\frac{2\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6}}=\frac{\sqrt{2}}{2}$

因为 $AB<BC$ ($2<\sqrt{6}$)，所以 $C<A=60^{\circ }$，故 $C=45^{\circ }$．

则 $\angle B=180^{\circ }-60^{\circ }-45^{\circ }=75^{\circ }$．

在 $△ABD$ 中，$\angle BAD=30^{\circ },\angle B=75^{\circ }$，

则 $\angle ADB=180^{\circ }-30^{\circ }-75^{\circ }=75^{\circ }$．

因为 $\angle B=\angle ADB$，所以 $△ABD$ 为等腰三角形，故 $AD=AB=2$．

方法三：角平分线性质定理法

由 $\frac{BD}{DC}=\frac{AB}{AC}=\frac{2}{1+\sqrt{3}}=\sqrt{3}-1$．

又 $BD+DC=\sqrt{6}$，解得 $DC=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}-1+1}=\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}}=\sqrt{2}$．

在 $△ADC$ 中，利用余弦定理：

$D{C}^2=A{D}^2+A{C}^2-2AD\cdot AC\cos 30^{\circ }$

$(\sqrt{2}{)}^2=x^2+(1+\sqrt{3}{)}^2-2x(1+\sqrt{3})\cdot \frac{\sqrt{3}}{2}$

$2=x^2+4+2\sqrt{3}-x(\sqrt{3}+3)$

$x^2-(3+\sqrt{3})x+(2+2\sqrt{3})=0$

因式分解 $(x-2)(x-(1+\sqrt{3}))=0$．

解得 $x=2$ 或 $x=1+\sqrt{3}$（经判定 $\angle ADB$ 钝锐性需舍去较大值）．

结论：

$AD$ 的值为 $2$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：余弦定理求边、三角形面积公式的拆分（等面积法）、正弦定理进行边角转换。
2. 核心方法：等面积法（通性通法）、特殊角等腰判定法（巧解快速求解）。
3. 避坑指南：

• 一元二次方程根的筛选：由余弦定理求出的 $AC$ 存在一个负根，在几何实际中必须通过 $b>0$ 进行剔除。
• 大边对大角定理判定：在方法二中，满足 $\sin \angle C=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 的角有 $45^{\circ }$ 和 $135^{\circ }$，必须利用边长关系 $AB<BC$ 确定 $\angle C<60^{\circ }$，从而准确锁定 $\angle C=45^{\circ }$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查了解三角形板块内的经典模型——“角平分线模型”，为填空题的压轴题，具备一题多解的特点。
2. 结论推广：在任意 $△ABC$ 中，若 $\angle A$ 的角平分线为 $l_a$，其长度与两侧夹边的代数关系可通过等面积法抽象推导为通用二级结论公式：$l_a=\frac{2bc\cdot \cos \frac{A}{2}}{b+c}$。在本题中，直接代入 $b=1+\sqrt{3},c=2,\frac{A}{2}=30^{\circ }$ 即可得到 $l_a=\frac{2\times (1+\sqrt{3})\times 2\times \frac{\sqrt{3}}{2}}{(1+\sqrt{3})+2}=\frac{2\sqrt{3}(1+\sqrt{3})}{3+\sqrt{3}}=2$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质
• 11.07 角平分线模型

类题演练 (Links)

• 2012-浙江卷文-18 解-正余弦定理解三角形
• 2014-辽宁卷文-17 解-解三角形
• 2019-全国卷II文-15 填-正弦定理