2024-上海卷-16 单-函数性质综合

本题导读

本题考查函数的奇偶性、单调性与极值，以及集合新定义。

📌【题干】

Question

（2024年上海卷）已知函数 $y=f(x)$ 的定义域为 $\mathbb{R}$，集合 $M=\{x_0\mid x_0\in \mathbb{R},\forall x\in (-\infty ,x_0),f(x)<f(x_0)\}$.在使得 $M=[-1,1]$ 的所有 $f(x)$ 中，存在 $f(x)$ 满足（ ） A. $y=f(x)$ 是偶函数　　　　　　　B. $y=f(x)$ 的最大值是 $f(2)$

C. $y=f(x)$ 严格递增　　　　　　　D. $y=f(x)$ 在 $x=-1$ 处取极小值

🔍【思路分析】

破题导航

1. 深度化归新定义集合 $M$ 的几何含义： 表达式 $\forall x\in (-\infty ,x_0),f(x)<f(x_0)$ 翻译成几何语言即为：“在 $x_0$ 这一点的函数值，必须严格大于它左侧所有自变量对应的函数值”。也就是说， $x_0$ 是函数图象从 $-\infty$ 开始算起的“创历史新高点”。
2. 拆解约束条件 $M=[-1,1]$ 的图象性质：

• 当 $x\in [-1,1]$ 时，其中的每一个点都在集合 $M$ 中，意味着在此区间内，每往右走一步都要创出新高，因此函数 $f(x)$ 在闭区间 $[-1,1]$ 上必须表现为严格单调递增。
• 当 $x<-1$ 时，点不在 $M$ 中，说明在 $-1$ 左侧的某些地方，曾经达到过类似或更高的高度，导致左侧的点无法成为“创历史新高点”。
• 当 $x>1$ 时，点不再属于 $M$，说明自 $x=1$ 之后，函数图象开始见顶回落、保持水平或陷入震荡，其后续高度再也无法严格突破 $f(1)$ 这一高峰。

3. 存在性判定的突破口： 根据选择题的逻辑，只要能通过合理的代数设计，构造出一个完全不违背 $M=[-1,1]$ 边界限制的分段函数特例，即可证明该选项对应性质的存在性。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

A 选项： $y=f(x)$ 是偶函数 若 $f(x)$ 是偶函数，根据对称性必然满足 $f(-1)=f(1)$。 然而，根据题意已知 $1\in M=[-1,1]$。代入 $M$ 的定义可得：对于所有满足 $x<1$ 的自变量，均有 $f(x)<f(1)$。 由于在数轴上 $-1<1$ 成立，因此作为左侧的点，必须满足 $f(-1)<f(1)$。 这与偶函数的特征 $f(-1)=f(1)$ 产生矛盾。因此，没有任何一个偶函数能满足条件，A 错误。

C 选项： $y=f(x)$ 严格递增 若 $f(x)$ 在定义域 $\mathbb{R}$ 上全线严格递增，那么对于数轴上的任意一点 $x_0$，只要自变量在其左侧（ $x<x_0$ ），自然恒满足 $f(x)<f(x_0)$。 这意味着每一个实数 $x_0$ 都会是创历史新高点，此时对应的集合 $M$ 应当展开为整个实数集 $\mathbb{R}$。 这与题目给定的有限区间 $M=[-1,1]$ 不符，故 C 错误。

D 选项： $y=f(x)$ 在 $x=-1$ 处取极小值 根据极小值的定义，若 $x=-1$ 是一个极小值点，则在 $-1$ 的左侧局部邻域内，至少会存在某个点 $x^{\prime }$，使得 $f(x^{\prime })⩾f(-1)$ 成立（图象表现为从左边下降落到波谷）。 但这与 $-1\in M$ 的宏观定义——“ $-1$ 左侧所有处的函数值 $f(x)$ 必须严格小于 $f(-1)$ ”直接冲突。因此， $-1$ 处不可能取到极小值，D 错误。

B 选项： $y=f(x)$ 的最大值是 $f(2)$ 这是一个存在性命题，尝试通过分段函数模型去构造一个合法的图象特例：

• 在左侧 $x<-1$ 区域：让图象保持水平，令 $f(x)=0$。此时对于这部分中的任意点，它左侧都有和它相等的值（0），无法做到“严格小于”，故它们均不属于 $M$。

• 在主区域 $-1⩽x⩽1$：让它严格递增，且起点跳跃拔高，令 $f(x)=x+2$。此时 $f(-1)=1>0$。由于它在此区间递增，且整体高于左侧的 0 平面，因此该闭区间内的每一个点都创了历史新高，确立 $M=[-1,1]$。

• 在右侧 $x>1$ 区域：只要让高度不再严格突破 $f(1)=1+2=3$ 即可。为了验证 B 选项，可以直接让图象从 $x=1$ 开始保持封顶水平线，令 $f(x)=3$。

组合出如下特例函数： $f(x)=\{\begin{array}{ll}0,& x<-1\\ x+2,& -1⩽x⩽1\\ 3,& x>1\end{array}$

此时容易验证，该函数的全局最大值就是 3。 由于当 $x=2$ 时， $f(2)=3$，它刚好达到了全局最大值。所以，该函数的最大值是 $f(2)$ 在代数逻辑上成立。 且因为 $f(2)=3$ 并没有“严格大于”它左侧的 $f(1)=3$，所以 $2\notin M$，这与 $M=[-1,1]$ 的边界不产生冲突。 特例构造成功，证明了该种函数性质的存在性。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：新定义量词集合的图象化归、函数单调性与极值的概念辨析、分段函数边界控制的构造法应用。
2. 核心方法：排除法、特例构造法（解决存在性命题的工具）。
3. 避坑指南：

• 无法突破抽象符号：本题如果只在代数公式里推导，容易受到全称量词（$\forall$）的干扰。应当给抽象公式赋予具体的几何意义，将 $\forall x<x_0,f(x)<f(x_0)$ 理解为“创历史新高点”，图象的起伏和封顶趋势便较为直观。
• 混淆局部极值与全局定义：D 选项是高频易错点，部分考生因 $-1$ 是区间的左端点且图象从此开始上扬，便误认为 $-1$ 是“极小值”。极小值管的是“局部两侧邻域”，而 $M$ 集合管的是“左侧直到负无穷的漫长区间”。 $-1\in M$ 要求其左侧必须全部比它低，而极小值要求左侧邻域比它高，两条件相互矛盾。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查函数的概念与性质，属于新定义选择压轴题。题目将抽象的集合运算与初等函数的性质相融合，旨在甄别具备高级函数直觉与图象建构能力的考生。
2. 结论推广：在数据分析与金融量化（如股票 K 线分析）中，本题定义的集合 $M$ 对应于“历史高点突破信号”。满足 $M=[a,b]$ 的函数图象，在数学上被抽象表述为“在 $[a,b]$ 发生长程单调主升，且在 $b$ 点后进入压力位（阻力线）”。掌握这种将连续映射行为转化为区间端点代数控制的思维，可以有效解析各类函数创新题。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2013-山东卷理-03 单-函数奇偶性
• 2013-上海卷理-12 填-函数奇偶性
• 2013-四川卷理-10 单-单调性