2024-北京卷-18 解-概率分布

本题导读

本题考查利用样本频率估计总体概率，以及离散型随机变量分布列与数学期望的综合应用。核心在于利用数学期望的线性性质进行代数转化，从而优化多状态实际生活应用题的计算.

📌【题干】

Question

（2024年北京卷）某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取 1000 份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：

索赔次数	0	1	2	3	4
保单份数	800	100	60	30	10

假设：一份保单的保费为 $0.4$ 万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿 $0.8$ 万元；第四次索赔时，保险公司赔偿 $0.6$ 万元. 假设不同保单的索赔次数相互独立.用频率估计概率.

（1）估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率；

（2）一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差.

(i) 记 $X$ 为一份保单的毛利润，估计 $X$ 的数学期望 $\text{E}X$；

(ii) 如果无索赔的保单的保费减少 $4\%$，有索赔的保单的保费增加 $20\%$，试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与 (i) 中 $\text{E}X$ 估计值的大小.（结论不要求证明）

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问（概率估算）：求“索赔次数不少于 2”的概率。可将索赔次数为 2, 3, 4 的保单份数累加后除以总样本容量 1000；也可以利用对立事件法，用 1 减去索赔 0 次和 1 次的概率之和。
2. 第二问 (i) （期望求解）：因为“毛利润 = 保费 - 赔偿总金额”，若直接对毛利润 $X$ 列分布列，其取值极易混淆符号。推荐引入中间变量 $\xi$ 表示“赔偿总金额”，先求出 $\xi$ 的分布列与期望 $\text{E}\xi$，再利用期望的线性性质 $\text{E}X=0.4-\text{E}\xi$ 求解。注意索赔 4 次的赔偿总金额为分段计费： $0.8\times 3+0.6=3.0$ 万元。
3. 第二问 (ii) （期望对比决策）：重新计算新保险定价规则下“保费的期望值”。由于理赔端的数据结构未变（即赔偿总金额期望 $\text{E}\xi$ 保持不变），只需比对新保费的期望与原保费 $0.4$ 万元的大小关系，即可直接判定毛利润期望值的升降情况。

✅【答案】

点击查看答案

(1) $\frac{1}{10}$

(2) (i) $E(X)=0.122$ 万元

(2) (ii) 新情况下一份保单毛利润的数学期望更大

✍【详细解析】

Abstract

（1）第(1)问详解

（1）解：估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率

方法一：直接累加法 设事件 $A$ 为“随机抽取一份保单，其索赔次数不少于 2 次”。 由题意，样本保单总数为 $800+100+60+30+10=1000$ 份。 其中索赔次数不少于 2 的保单份数共有 $60+30+10=100$ 份。 利用样本频率估计总体概率，可得： $\text{P}(A)=\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}=0.1$

方法二：对立事件法 设事件 $A$ 为“随机抽取一份保单，其索赔次数不少于 2 次”，则其对立事件 $\overline{A}$ 为“索赔次数少于 2 次（即 0 次或 1 次）”。 $\text{P}(\overline{A})=\frac{800+100}{1000}=\frac{900}{1000}=\frac{9}{10}$ 根据对立事件概率公式： $\text{P}(A)=1-\text{P}(\overline{A})=1-\frac{9}{10}=\frac{1}{10}=0.1$ 所以，估计一份保单索赔次数不少于 2 的概率为 $0.1$。

（2）(i) 解：记 $X$ 为一份保单的毛利润，估计 $X$ 的数学期望 $\text{E}X$

设离散型随机变量 $\xi$ 为一份保单中保险公司的赔偿总金额（单位：万元）。 根据题意， $\xi$ 的可能取值计算如下：

• 索赔 0 次： $\xi =0$
• 索赔 1 次： $\xi =0.8$
• 索赔 2 次： $\xi =0.8\times 2=1.6$
• 索赔 3 次： $\xi =0.8\times 3=2.4$
• 索赔 4 次（分段计费）： $\xi =0.8\times 3+0.6=3.0$

用样本频率作为概率，得到 $\xi$ 的概率分布列如下表所示：

$\xi$	0	0.8	1.6	2.4	3.0
$\text{P}$	$\frac{800}{1000}=\frac{4}{5}$	$\frac{100}{1000}=\frac{1}{10}$	$\frac{60}{1000}=\frac{3}{50}$	$\frac{30}{1000}=\frac{3}{100}$	$\frac{10}{1000}=\frac{1}{100}$

根据离散型随机变量数学期望公式，算出公司赔付金额的期望值 $\text{E}\xi$： $\text{E}\xi =0\times \frac{4}{5}+0.8\times \frac{1}{10}+1.6\times \frac{3}{50}+2.4\times \frac{3}{100}+3.0\times \frac{1}{100}$ $\text{E}\xi =0+0.08+0.096+0.072+0.03=0.278\text{（万元）}$

根据定义，保单毛利润 $X=\text{保费}-\text{赔偿总金额}=0.4-\xi$。 利用数学期望的线性运算法则 $\text{E}(a\xi +b)=a\text{E}\xi +b$，可得： $\text{E}X=\text{E}(0.4-\xi )=0.4-\text{E}\xi =0.4-0.278=0.122\text{（万元）}$ 所以， $X$ 的数学期望估计值为 $0.122$ 万元。

(ii) 试比较这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值与 (i) 中 $\text{E}X$ 估计值的大小

结论： 这种情况下一份保单毛利润的数学期望估计值 大于 (i) 中 $\text{E}X$ 的估计值。

💡 【证明过程详解（考场作答时无须书写本推导）】 由题意，一份保单无索赔（索赔0次）的概率为 $\text{P}(\xi =0)=\frac{4}{5}=0.8$； 有索赔（至少索赔1次）的概率为 $1-0.8=0.2$。 在新的精算定价规则下，保险公司能收取的预期保费金额（期望值）为： $\text{E}(\text{新保费})=0.4\times (1-4\%)\times 0.8+0.4\times (1+20\%)\times 0.2$ $\text{E}(\text{新保费})=0.4\times 0.96\times 0.8+0.4\times 1.2\times 0.2=0.3072+0.096=0.4032\text{（万元）}$ 设 $Y$ 为新规则下一份保单的毛利润。由于后端理赔数据没变，理赔金额期望依然是 $\text{E}\xi =0.278$ 万元。 则新毛利润的数学期望为： $\text{E}Y=\text{E}(\text{新保费})-\text{E}\xi =0.4032-0.278=0.1252\text{（万元）}$ 因为 $0.1252>0.122$，即 $\text{E}Y>\text{E}X$。故新期望值大于原期望值。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：古典概型的频率放缩估计、离散型分布列的列法、数学期望线性性质 $\text{E}(aX+b)=a\text{E}X+b$。
2. 核心方法：主元变量置换法（先算赔偿款期望，再反求利润期望）。
3. 避坑指南：

• 分段理赔算错：题目中“前三次每次赔 0.8，第四次赔 0.6”，计算索赔 4 次的总额时，极易因思维惯性直接算成 $0.8\times 4=3.2$ 万元。必须看清题干： ${\xi }_4=0.8\times 3+0.6=3.0$。
• 利润分布列的大容量计算：若直接设 $X$ 的取值为利润（即 $0.4,-0.4,-1.2\dots$ ），不仅由于带有负号导致符号极易在累加时出错，而且在做第二问 (ii) 时需要将分布列全部推倒重算。而通过分离出“理赔总额 $\xi$ ”作为不变量核心，可以实现两次保费变动下的快速无缝切算。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自教材选择性必修第三册《计数原理与概率统计》中“离散型随机变量的数字特征”章节的商业精算例题变式。
2. 结论推广: 在各类“博弈生存利润分析”或“商家返利决策”的高考应用题模型中，保持“理赔端（或支出端）分布列不动”，仅对“定价端（或门票端）”进行结构性比例变动，是高考试卷为了拉开运算效率差距设计的标准题型。熟练掌握期望的代数线性组合特征，可免去 90% 重复列分布列的垃圾时间。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.03 离散型随机变量及其数字特征

类题演练 (Links)

• 2013-浙江卷理-19 解-分布列
• 2011-湖南卷理-18
• 2013-湖北卷理-09 单-数学期望