2024-新高考II卷-01 单-复数

本题导读

本题考查复数的概念，以及复数的模。

📌【题干】

Question

（2024年新高考II卷）已知 $z=-1-\text{i}$，则 $|z|=$（ ）

A. $0$　　　　　　B. $1$　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 识别实部与虚部：复数 $z=a+bi$ 的实部为 $a$，虚部为 $b$（注意虚部不包含 $\text{i}$）。对于 $z=-1-\text{i}$，有 $a=-1,b=-1$。
2. 应用模公式：复数模的几何意义是复平面上点到原点的距离，代数公式为 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$。
3. 计算求值：代入数值进行平方和运算及开方。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

第一步：确定复数的组成 已知 $z=-1-\text{i}$， 实部 $\text{Re}(z)=-1$， 虚部 $\text{Im}(z)=-1$

第二步：代入模长公式 根据复数模的定义： $|z|=\sqrt{(-1{)}^2+(-1{)}^2}$

第三步：化简计算 $|z|=\sqrt{1+1}=\sqrt{2}$

故选：C

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的代数表示方法、复数虚部的概念、复数模的代数运算法则。
2. 核心方法：公式代入法。作为复数章节最基础的题型，直接提取代数特征元并精准代入模长公式是快速通关的通性通法。
3. 避坑指南:

• 避坑指南 1（误将虚部包含虚数单位 $\text{i}$）：部分同学容易把虚部错误地识别为 $-\text{i}$，在代入公式时算成 $\sqrt{(-1{)}^2+(-\text{i}{)}^2}=\sqrt{1-1}=0$，从而误选 A。必须明确虚部是实数，不含 $\text{i}$。
• 避坑指南 2（负数平方忘记变正）：个别考生在草稿纸上书写匆忙，将 $(-1{)}^2$ 习惯性口算成 $-1$，导致根号内出现 $-1-1=-2$ 或 $1-1=0$ 的运算混乱。处理负数的幂次运算时需保持稳健。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题源自人教A版选择性必修第二册第七章《数系扩充与复数》中“复数的几何意义”章节后的基本概念练习题。高考命题组通过这道题进行平实开篇，旨在稳定考生心态，纯粹考查最底层的基本运算技能。
2. 结论推广: （复数模的“复平面几何不变量”）：为了丰富您的文献库知识体系，我们可以将复数模的代游运算平移到复平面坐标系中。复数 $z=a+b\text{i}$ 同构于复平面上的点 $Z(a,b)$。复数的模 $|z|=\sqrt{a^2+b^2}$ 在几何本质上代表点 $Z$ 到坐标原点 $O(0,0)$ 的欧氏距离。本题中复数 $z=-1-\text{i}$ 对应第三象限的点 $Z(-1,-1)$，它与原点构成的直角三角形两条直角边长均为 1，根据勾股定理，其斜边长（即距离）恒为 $\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。这种“数形结合”的视角，能让您在面对更复杂的复数最值问题时拥有更清爽的几何直觉。
3. 方法推广: 本题所展现的“提取基本特征元、直接套用恒等公式”的代数化简思想

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法