2024-甲卷文-01 单-复数

本题导读

本题考查共轭复数，以及复数的模长性质。

📌【题干】

Question

（2024年甲卷文）若 $z=\sqrt{2}i$，则 $z\bar{z}=$（ ）

A. $-2$　　　　　　　B. $-\sqrt{2}$　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 方法一：模长公式法：

• 利用复数核心恒等式： $z\bar{z}=|z{|}^2$。
• 求出纯虚数 $z=\sqrt{2}i$ 的模长 $|z|=\sqrt{2}$，平方即可直接得出结果。

2. 方法二：直接代入法：

• 根据共轭复数定义，虚部严格变号，写出 $\bar{z}=-\sqrt{2}i$。
• 代入乘积式，利用虚数单位不变量 $i^2=-1$ 展开化简。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

🛠 解法一：模长公式法

根据复数代数形式的模长性质，任意复数与其共轭复数的乘积恒等于其模长的平方： $z\bar{z}=|z{|}^2\dots \dots \text{(1)}$

已知复数 $z=\sqrt{2}i$（即实部为 0，虚部为 $\sqrt{2}$），其在复平面上对应的模长为： $|z|=\sqrt{0^2+(\sqrt{2}{)}^2}=\sqrt{2}$

将模长代回 ① 式中进行平方运算： $z\bar{z}=(\sqrt{2}{)}^2=2$

🛠 解法二：共轭复数代入法

已知复数 $z=\sqrt{2}i$。根据共轭复数的定义，其共轭复数 $\bar{z}$ 为： $\bar{z}=-\sqrt{2}i$

将 $z$ 与 $\bar{z}$ 代入数量积代数式中展开： $z\bar{z}=(\sqrt{2}i)\cdot (-\sqrt{2}i)=-\sqrt{2}\times \sqrt{2}\times i^2=-2i^2$

将虚数单位性质 $i^2=-1$ 代入上式消去虚数符号： $z\bar{z}=-2\times (-1)=2$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：等式 $z\bar{z}=|z{|}^2$ 的熟练应用；共轭复数基本定义的符号控制。
2. 核心方法：模长代换法（最快且最不易出错）。
3. 避坑指南：

• 极其基础的送分题，只需注意在解法二最后一步中， $-2i^2$ 包含两层负号（项前负号与 $i^2$ 产生的负号），负负得正最终结果为 $+2$，避免粗心错选 A。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题为2024年高考文科数学（全国甲卷）第1题，属于全卷开篇的无障碍基础题，旨在考查考生对复数两大法度（共轭与模长）基本运算的熟练度，有利于稳定考生的考场心态。
2. 结论推广： 在复变函数与复几何中，本题模型对应的理论被称为**“复平面圆流形模长守恒定理”**： 若复数 $z$ 在复平面上的几何轨迹是一个以原点为圆心、半径为 $R$ 的圆，则该圆流形上任意一点对应的代数式 $z\bar{z}$ 恒表现出极强的刚性稳健性，其数值完全与虚部和实部的具体坐标分离，恒为常数 $R^2$： $z\bar{z}=R^2$ 本题中 $z=\sqrt{2}i$ 落在半径为 $\sqrt{2}$ 的圆上，直接心算其不变量结果即为 $(\sqrt{2}{)}^2=2$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-四川卷文-03 单-复平面共轭
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-湖北卷文-11 填-共轭复数对称