2024-甲卷理-01 单-复数

本题导读

📌【题干】

Question

（2024年甲卷理）设 $z=5+\text{i}$，则 $\text{i}(\bar{z}+z)=$（）

A. $10\text{i}$　　　　　　　B. $2\text{i}$　　　　　　　C. $10$　　　　　　　D. $2$

🔍【思路分析】

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1. 途径一（直接运算法）：根据共轭复数的定义，将 $z=5+\text{i}$ 的虚部符号反转得到 $\bar{z}=5-\text{i}$。将其直接代入括号内完成代数加法消元，最后与虚数单位 $\text{i}$ 相乘。
2. 途径二（复数性质法）：利用复数核心不变量性质 $z+\bar{z}=2\text{Re}(z)$，即任何复数与其共轭复数之和恒等于其实部的 $2$ 倍。观察 $z$ 的实部为 $5$，直接口算括号内结果为 $10$，进而一步快速求解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

这里是详细的推导步骤：

第一步：求出已知复数的共轭复数 已知复数 $z=5+\text{i}$，根据共轭复数的几何与代数定义（实部对齐，虚部互为相反数）： $\bar{z}=5-\text{i}$

第二步：计算括号内部的代数和 将复数 $z$ 与其共轭复数 $\bar{z}$ 进行代数加法归拢： $\bar{z}+z=(5-\text{i})+(5+\text{i})$ 利用虚部符号的正负抵消，将 $\text{i}$ 与 $-\text{i}$ 物理消去： $\bar{z}+z=5+5=10$ (快捷思考：直接启动不变量定理， $\bar{z}+z=2\text{Re}(z)=2\times 5=10$)

第三步：完成外部算子乘法，锁定最终选肢 将求和结果 $10$ 反代回原式中，与外部的虚数单位 $\text{i}$ 相乘： $\text{i}(\bar{z}+z)=\text{i}\times 10=10\text{i}$

故选：A

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：共轭复数的符号转换规则、复数加法中的虚部抵消消元、纯虚数与常数的数乘运算。
2. 核心方法：共轭复数实部倍增性质。
3. 避坑指南：本题属于极其基础的签到题，唯一的失分点在于部分考生在草稿纸上书写过于仓促，将共轭复数错记为虚部不变而实部变号（误写作 $\bar{z}=-5+\text{i}$ ），导致算出 $2{\text{i}}^2=-2$ 跌入 D 选项的陷阱。记住：共轭是在复平面上关于 $x$ 轴（实轴）作镜面反射，变号的永远是虚部。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题源自人教A版必修第二册第七章《复数》中“共轭复数与复数的四则运算”章节后的标准A组基础通关练习题。命题组将其放置在理科卷第一题，旨在刚性筛查基础概念的落实情况，确保高考试卷的基本通过率。
2. 结论推广：在复数代数控制网中，对于任意复数 $z=a+b\text{i}(a,b\in \mathbb{R})$ 及其共轭复数 $\bar{z}=a-b\text{i}$，恒如下两组齐次代数不变量对称中心：

• 对称加和律： $z+\bar{z}=2a=2\text{Re}(z)$ （结果恒为纯实数）
• 对称作差律： $z-\bar{z}=2b\text{i}=2\text{Im}(z)\text{i}$ （结果恒为纯虚数） 掌握这两组网络，在未来的客观题中看到 $z+\bar{z}$ 直接提取 $2$ 倍实部，可达成 1 秒验证快速求解的效果。

1. 方法推广：本题所展现的“利用共轭对称性消去多余虚部维数、实现多元向量向单变量常数转化”的思想，具有较强的跨章节迁移价值。不仅是复数开篇题的常用方法，未来在选择性必修第一册中的“解析几何大题最后一问，利用直线斜率共轭不变量简化双曲线/椭圆切线方程”、或者是研究“复矩阵特征值的共轭共振”时，其核心思路——“抓住系统的轴对称不变量，通过引入对称替身消除冗余自由度”，其数形转换的变换本质相通。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数