2026-上海卷-15 单-复数

本题导读

本题通过引入新概念“伴随”，考查复数的基本代数性质。核心意图是利用复数属于实数集的充要条件（即虚部为 0），将抽象的“伴随”关系转化为关于复数虚部的代数方程组，进而通过逻辑推理锁定使两个伴随关系同时相容的充要条件。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）对于任意两个复数 $z,w$，若满足“$z-w\in \mathbb{R}$”或“$z-\bar{w}\in \mathbb{R}$”，则称 $z$ 与 $w$ 伴随. 若 $z$ 与 $w$ 伴随，则 $w-\text{i}$ 与 $z+\text{i}$ 伴随的充要条件是()

A. $\text{Re}z+\text{Re}w=0$　　　　　　　　　　　　　　B. $\text{Re}z-\text{Re}w=0$

C. $\text{Im}z+\text{Im}w=0$　　　　　　　　　　　　　　D. $\text{Im}z-\text{Im}w=0$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 翻译前置条件“$z$ 与 $w$ 伴随”：设复数的代数形式为 $z=a+b\text{i}$， $w=c+d\text{i}$ （其中 $a,b,c,d\in \mathbb{R}$），从而 $\text{Im}z=b$ 且 $\text{Im}w=d$。由于一个复数属于实数集的充要条件是其虚部为 0，分别展开 $z-w$ 和 $z-\bar{w}$，可以得出 $b=d$ 或 $b=-d$，即 $|b|=|d|$。
2. 展开目标条件“$w-\text{i}$ 与 $z+\text{i}$ 伴随”：将写出变换后的两个复数代数式，分别计算 $(w-\text{i})-(z+\text{i})$ 的虚部和 $(w-\text{i})-\overline{(z+\text{i})}$ 的虚部，使其任一为 0。
3. 逻辑相容性匹配：将目标条件产生的两个分之方程与前置约束 $|b|=|d|$ 进行交集匹配，筛选出能够被选项整齐刻画且逻辑等价的充要条件。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设复数 $z$ 与 $w$ 的代数形式分别为： $z=a+b\text{i},w=c+d\text{i}(a,b,c,d\in \mathbb{R})$ 由此可得各自的虚部为： $\text{Im}z=b$， $\text{Im}w=d$。

根据题意定义：

• 若 $z-w\in \mathbb{R}$： $z-w=(a-c)+(b-d)\text{i}\in \mathbb{R}⟺b-d=0⟺b=d$
• 若 $z-\bar{w}\in \mathbb{R}$： $z-\bar{w}=z-(c-d\text{i})=(a-c)+(b+d)\text{i}\in \mathbb{R}⟺b+d=0⟺b=-d$

由于是“或”的关系，故 $z$ 与 $w$ 伴随等价于： $|b|=|d|\text{(式1)}$

写出新复数的代数形式： $w-\text{i}=c+(d-1)\text{i}$ $z+\text{i}=a+(b+1)\text{i}$

根据伴随的定义，这两个新复数伴随意味着满足以下两种情形之一：

• 情形一： $(w-\text{i})-(z+\text{i})\in \mathbb{R}$ $\text{虚部}=(d-1)-(b+1)=0⟺d-b-2=0⟺d-b=2\text{(式2)}$

• 情形二： $(w-\text{i})-\overline{(z+\text{i})}\in \mathbb{R}$ 注意到 $\overline{(z+\text{i})}=\bar{z}-\text{i}=a-(b+1)\text{i}$，代入计算： $\text{虚部}=(d-1)+(b+1)=0⟺d+b=0⟺b+d=0\text{(式3)}$

题目要求寻找在“$z$ 与 $w$ 伴随”（即 $|b|=|d|$）的大前提下，使新复数伴随的充要条件：

• 若式2成立，即 $d-b=2$，结合 $|b|=|d|$（即 $b=d$ 或 $b=-d$）： 若 $b=d$，则 $d-d=0\ne 2$（无解）； 若 $b=-d$，则 $d-(-d)=2⟹2d=2⟹d=1,b=-1$。此时该分支只能刻画特定离散点，无法用给出的四个选项进行完备的非退化区域整齐刻画。
• 若式3成立，即 $b+d=0$，此时显然满足 $|b|=|-d|=|d|$，与大前提完全自洽相容。

此时，式3对应的复数描述即为： $\text{Im}z+\text{Im}w=0$

故选 C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数作为实数的特征表达（虚部严格为零）；共轭复数的算术性质 $\overline{z+\text{i}}=\bar{z}-\text{i}$；复杂逻辑命题的化简。
2. 核心方法：代数设参显式分析法。
3. 避坑指南：

• 共轭运算范围笔误：在计算情形二时，务必注意整个复数 $z+\text{i}$ 取共轭后，虚部由 $b+1$ 变为 $-(b+1)$，防止漏掉常量 1 的符号反转。
• 错选成 D 选项：部分学生在推导完第一步得出 $b=d$ 或 $b=-d$ 后，主观猜测充要条件是 $b-d=0$，从而误选 D。必须牢记后半句是一个全新的独立伴随条件判定，需要将新旧两个条件联立求交集。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题通过定义“伴随”这一新概念，本质上是在复平面上研究**“关于实轴的对称变换与平移变换的群论不变性”**。条件 $z-w\in \mathbb{R}$ 意味着两点连线平行于实轴； $z-\bar{w}\in \mathbb{R}$ 意味着两点关于某水平线对称。
2. 结论推广： 本题模型可推广至更一般的一阶复平移算子。设算子 $T_1(z)=z+\alpha \text{i}$, $T_2(w)=w+\beta \text{i}$（$\alpha ,\beta \in \mathbb{R}$）。若 $z$ 与 $w$ 伴随，则变换后的拓扑流形 $T_2(w)$ 与 $T_1(z)$ 保持伴随的完备充要条件，由复李群的对合性质（Involution）死锁，恒表现为两虚部的某种线性齐次零和状态，这在复变函数的保角变换与对称原理（Schwarz reflection principle）中具有重要理论应用。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2014-福建卷理-01 单-共轭复数
• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2014-江西卷理-01 单-共轭复数