2026-上海卷-20 解-双曲线综合

本题导读

本题考查等轴双曲线的综合几何解析。第一问通过标准方程直接计算点到渐近线的距离；第二问考查向量数量积与双曲线几何面积的转换，可采用坐标联立或第一定义结合余弦定理整体消元；第三问通过对双曲线进行象限截断构造新曲线，考查动态割线下的弦长控制问题，利用唯一性映射将几何问题等价转化为两个连续函数值域的代数包含关系。

📌【题干】

Question

（2026年上海卷）定义 $\Gamma :x^2-y^2=1$， $F_1,F_2$ 为 $\Gamma$ 的左,右焦点.

（1）求点 $(2,0)$ 到 $\Gamma$ 渐近线的距离；

（2） $P$ 为 $\Gamma$ 上一点， $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=1$，求 $△P{F}_1{F}_2$ 的面积；

（3）设 $\Omega :x^2-y^2=1$，其中 $\{\begin{array}{l}x<0\\ y\le -1\end{array}$ 或 $\{\begin{array}{l}x>0\\ y\ge -1\end{array}$.过点 $F_2$ 的直线 $l$ 交 $\Omega$ 于 $P,Q$ 两点（分别位于一, 四象限），过点 $F_2$ 的直线 $m$交 $\Omega$ 于 $M,N$ 两点（分别位于三, 四象限）. 是否存在正数 $\lambda$，对于任意的 $l$，都存在唯一的 $m$，使 $|MN|=\lambda |PQ|$ 成立？若存在，求出所有的 $\lambda$；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问：由 $a^2=b^2=1$ 确定渐近线为 $x\pm y=0$，代入点到直线距离公式。
2. 第二问：

• 坐标法：设 $P(x,y)$ 满足 $x^2-y^2=1$。展开 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x^2+y^2-2=1$，联立求出 $|y|=1$，代入面积公式。
• 几何法：利用数量积 $r_1{r}_2\cos \theta =1$，结合余弦定理及双曲线定义 $|r_1-r_2|=2$，整体解出 $r_1{r}_2$ 与 $\sin \theta$。

3. 第三问：

• 设过右焦点 $F_2(\sqrt{2},0)$ 的直线为 $x=ty+\sqrt{2}$，联立双曲线方程导出通用的焦点弦长公式 $L=\frac{2(t^2+1)}{|t^2-1|}$。
• 根据 $P,Q$ 以及 $M,N$ 的象限截断要求，锁定直线 $l$ 的参数定义域 $t\in [0,1)$ 以及直线 $m$ 的参数定义域 $n\in (1,2\sqrt{2}]$。
• 分析弦长函数的单调性得出各自值域。由于直线 $m$ 的弦长函数在限定区间内严格单调（满足一一对应），要使“对任意 $l$ 存在唯一的 $m$”，只需让 $\lambda |PQ|$ 的值域成为 $|MN|$ 值域的子集。

✅【答案】

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(1) $\sqrt{2}$ (2) $\sqrt{2}$ (3) 存在，$\lambda \ge \frac{9}{7}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）

由双曲线 $\Gamma :x^2-y^2=1$ 可知 $a=1,b=1$，其渐近线方程为 $y=\pm x$，即： $x-y=0\text{或}x+y=0$ 两直线关于 $x$ 轴对称，点 $(2,0)$ 到两者的距离相等。取直线 $x-y=0$ 计算： $d=\frac{|2-0|}{\sqrt{1^2+(-1{)}^2}}=\frac{2}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$

（2）

由 $a^2=1,b^2=1$ 得 $c^2=a^2+b^2=2⟹c=\sqrt{2}$。焦点为 $F_1(-\sqrt{2},0),F_2(\sqrt{2},0)$。

解法一：坐标法 设 $P(x,y)$ 在 $\Gamma$ 上，满足 $x^2=1+y^2$。 $\overrightarrow{P{F}_1}=(-\sqrt{2}-x,-y),\overrightarrow{P{F}_2}=(\sqrt{2}-x,-y)$ $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-\sqrt{2}-x)(\sqrt{2}-x)+(-y)(-y)=x^2-2+y^2=1⟹x^2+y^2=3$ 将 $x^2=1+y^2$ 代入，得 $(1+y^2)+y^2=3⟹2y^2=2⟹|y|=1$。 $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}|F_1{F}_2|\cdot |y|=\frac{1}{2}\times 2\sqrt{2}\times 1=\sqrt{2}$

解法二：几何法 记 $|P{F}_1|=r_1,|P{F}_2|=r_2,\angle F_{1}P{F}_2=\theta$。 由已知 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=r_1{r}_2\cos \theta =1$。 由余弦定理： $|F_1{F}_2{|}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2\cos \theta ⟹8=r_1^2+r_2^2-2⟹r_1^2+r_2^2=10$。 由双曲线定义： $(r_1-r_2{)}^2=r_1^2+r_2^2-2r_1{r}_2=4⟹10-2r_1{r}_2=4⟹r_1{r}_2=3$。 则 $\cos \theta =\frac{1}{3}⟹\sin \theta =\frac{2\sqrt{2}}{3}$。 $S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}{r}_1{r}_2\sin \theta =\frac{1}{2}\times 3\times \frac{2\sqrt{2}}{3}=\sqrt{2}$

**（3）

过右焦点 $F_2(\sqrt{2},0)$ 的直线设为 $x=ty+\sqrt{2}$。 代入 $x^2-y^2=1$ 得： $(t^2-1)y^2+2\sqrt{2}ty+1=0$。 由韦达定理及弦长公式： $L=\sqrt{1+t^2}|y_1-y_2|=\sqrt{1+t^2}\cdot \frac{\sqrt{8t^2-4(t^2-1)}}{|t^2-1|}=\frac{2(t^2+1)}{|t^2-1|}$

1. 已知直线 $l$ 的交点 $P,Q$ 分别位于一、四象限。，解得参数范围为 $t\in [0,1)$。 此时 $|t^2-1|=1-t^2$，弦长公式为： $|PQ|=\frac{2(t^2+1)}{1-t^2}=-2+\frac{4}{1-t^2}$ 当 $t\in [0,1)$ 时，函数严格单调递增，其对应的值域为： $|PQ|\in [2,+\infty )$

2. 设直线 $m$ 方程为 $x=ny+\sqrt{2}$。交点 $M,N$ 分别位于三、四象限，解得参数范围为 $n\in (1,2\sqrt{2}]$。 此时 $n>1⟹|n^2-1|=n^2-1$，弦长公式为： $|MN|=\frac{2(n^2+1)}{n^2-1}=2+\frac{4}{n^2-1}$ 当 $n\in (1,2\sqrt{2}]$ 时，分母增大分式减小，函数严格单调递减，其值域为： $|MN|\in \left[\frac{18}{7},+\infty \right)$

3. 题目要求对任意 $l$ 存在唯一的 $m$。由于弦长函数 $|MN|$ 在对应区间内具有严格单调性故该唯一性命题等价于 $\lambda |PQ|$ 的值域必须完全被包含在 $|MN|$ 的值域内。

当 $|PQ|\in [2,+\infty )$ 时， $\lambda |PQ|\in [2\lambda ,+\infty )$。 建立包含关系： $[2\lambda ,+\infty )\subseteq \left[\frac{18}{7},+\infty \right)⟹2\lambda \ge \frac{18}{7}⟹\lambda \ge \frac{9}{7}$

故存在这样的正数 $\lambda$，其取值范围为 $\lambda \ge \frac{9}{7}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线渐近线方程及焦点弦长通式的构建；象限截断对直线斜率（倒数）的区间限缩；单调函数下唯一性映射向集合值域包含关系的等价转化。
2. 核心方法：设参消元韦达定理法、值域包含夹逼法。
3. 避坑指南：第三问切忌尝试将直线 $l$ 的参数 $t$ 与直线 $m$ 的参数 $n$ 强行代数联立，这样会导致高次方程发生灾难性膨胀。应抓住“一一对应”这一单调特征，通过直接求解两个独立的端点值域来完成证明。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是平面解析几何中圆锥曲线弦长体系的压轴综合题。其高阶数学背景源于射影几何中非线性流形的象限单侧截断及连续映射的覆盖测度。
2. 结论推广： 本题涉及的比例覆盖模型可推广至更一般的圆锥曲线系。任意双曲线在受到特定的拓扑截断后，其过焦点割线所产生的双弦长通过齐次算子 $\mathcal{T}(L)=\lambda L$ 实施的控制对合问题，其算子解集的测度边界完备由该流形在该空间下的下确界之比唯一锁定，这在现代雷达动态扫描边界及航天轨道测控算法中具有底层理论价值。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2013-江苏卷-03 填-渐近线
• 2014-浙江卷理-16 填-渐近线
• 2008-大纲卷I文-22 解-双曲线渐近线弦长