2026-北京卷-02 单-复数

本题导读

本题考查复数模长的直接计算。解题核心在于先完成两复数相加，再套用模长公式 $|z|=\sqrt{\mathrm{Re}(z{)}^2+\mathrm{Im}(z{)}^2}$ 求得数值结果。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）已知 $z_1=3-2\mathrm{i}$， $z_2=-1+4\mathrm{i}$，则 $|z_1+z_2|=$()

A. $2\sqrt{2}$　　B. $\mathrm{i}$　　C. $2$　　D. $8$

🔍【思路分析】

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1. 先求和：将两复数按实部、虚部分别相加，得到 $z_1+z_2$ 的标准代数形式。
2. 再求模：套用模长公式，对实部与虚部的系数平方求和再开根号。
3. 注意：复数模长是非负实数，结果不可能是纯虚数。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

由题意，先将两复数相加： $z_1+z_2=(3-2\mathrm{i})+(-1+4\mathrm{i})=(3-1)+(-2+4)\mathrm{i}=2+2\mathrm{i}$

再计算其模长： $|z_1+z_2|=|2+2\mathrm{i}|=\sqrt{2^2+2^2}=\sqrt{8}=2\sqrt{2}$

故选 A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数代数形式的加法法则（实部加实部、虚部加虚部）；复数模长的计算公式。
2. 核心方法：先求和再求模。
3. 避坑指南：

• 误选纯虚数：模长是非负实数，选项 B 的 $\mathrm{i}$ 为纯虚数，可直接排除。
• 错用三角不等式：虽然 $|z_1+z_2|\le |z_1|+|z_2|$ 成立，但本题给出具体数值，直接代入计算即可得出精确值，不必依赖放缩。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题是复数单元的入门基础题，考查复数加法的代数运算与模长定义，属必修第二册“复数”章节最基础层级的必得分题。
2. 结论推广：一般地，对复数 $z=a+b\mathrm{i}$，有 $|z{|}^2=a^2+b^2=z\cdot \bar{z}$，这一关系在复数乘除、共轭运算中反复使用。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2013-安徽卷理-01 单-复数的代数表示及其几何意义
• 2013-山东卷理-01 单-复数除法
• 2020-新高考I卷-02 单-复数模长