2026-北京卷-04 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理的基础应用. 核心在于熟练写出含有根式的二项式展开式通项公式，通过锁定目标项 $x^2$ 的指数确定组合数下标，进而列出关于未知数 $a$ 的代数方程求解.

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）在 $(a-\sqrt{x}{)}^7$ 的展开式中， $x^2$ 的系数为 280, 则 $a=$ ()

A. 2　　　　　　　B. -2　　　　　　　C. $\sqrt{2}$　　　　　　　D. $\pm 2$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：列出二项式通项公式：对于 $(A+B{)}^n$，其通项为 $T_{k+1}={\text{C}}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$。本题中 $A=a,B=-\sqrt{x}=-x^{1/2},n=7$。
2. 第二步：分离常数与变量：将通项公式展开，把符号因子 $(-1{)}^k$, 常数 $a^{7-k}$ 及组合数 ${\text{C}}_7^k$ 归为系数部分，变量部分化为 $x^{k/2}$ 的形式。
3. 第三步：锁定目标项并构建方程：令变量指数 $\frac{k}{2}=2$ 解出 $k=4$,将 $k=4$ 代入系数部分，使其等于 280，解一元三次方程求出 $a$ 的值.

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

根据二项式定理， $(a-\sqrt{x}{)}^7$ 展开式的通项公式为： $T_{k+1}={\text{C}}_7^k\cdot a^{7-k}\cdot (-\sqrt{x}{)}^k(0\le k\le 7,k\in \mathbb{N})$

将根式化为分数指数幂： $(-\sqrt{x}{)}^k=(-1\cdot x^{1/2}{)}^k=(-1{)}^k\cdot x^{\frac{k}{2}}$

代入通项公式整理得： $T_{k+1}={\text{C}}_7^k\cdot (-1{)}^k\cdot a^{7-k}\cdot x^{\frac{k}{2}}$

令： $\frac{k}{2}=2⟹k=4$

将 $k=4$ 代入通项公式： ${\text{C}}_7^4\cdot (-1{)}^4\cdot a^{7-4}=280$

可得： ${\text{C}}_7^4={\text{C}}_7^3=\frac{7\times 6\times 5}{3\times 2\times 1}=35$ $(-1{)}^4=1$ 代入方程： $35\times 1\times a^3=280$

$35a^3=280$

解得： $a=2$

故选 A.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：二项式展开通项公式 $T_{k+1}={\text{C}}_n^k{A}^{n-k}{B}^k$ 的代数变形；分数指数幂的运算法则.
2. 核心方法：系数待定消元法.
3. 避坑指南：

• 漏掉负号：二项式的第二项 $B$ 必须整体看作 $-\sqrt{x}$，符号因子 $(-1{)}^k$ 必须参与系数运算。本题由于 $k=4$ 为偶数， $(-1{)}^4=1$ 对结果符号无影响，但若目标项要求 $x^{3/2}$ 对应 $k=3$ 时，漏掉负号将直接导致结果符号出错.
• 多解性陷阱：解出 $a^3=8$ 后，有学生容易受到偶次方根（如 $a^2=4⟹a=\pm 2$）的思维定势干扰，误选 D 选项。切记实数的奇次方根有且仅有一个实数解， $a=2$ 唯一成立。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题考查选择性必修第三册“计数原理”中的二项式定理，是高考全国卷理科数学前五道选择题中极高频出现的经典题型，属于基础必得分题。
2. 结论推广： 对于任意形如 $(a-B{x}^p{)}^n$ 的二项式，求特定项系数的方程 $A\cdot a^{n-k}=\text{定值}$，其最终关于参数 $a$ 的方程次数由 $n-k$ 决定。当 $n-k$ 为奇数时， $a$ 仅有唯一实数解；当 $n-k$ 为偶数时， $a$ 通常存在正负双解，需要结合题目中对 $a$ 的正负号限制（若有）进行精细化保留或舍去。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结
• 19.03 数列通项公式求法全攻略

类题演练 (Links)

• 1986-全国理-15 填-二项式的常数项
• 1988-全国卷理-05 单-二项式定理的指定项系数
• 1990-上海卷-08 填-二项式展开的系数