2013-新课标II卷理-05 单-二项式定理

本题导读

本题考查二项式定理，以及整式的运算。

📌【题干】

Question

（2013年新课标II卷(理)） 5. 已知 $(1+ax)(1+x{)}^5$ 的展开式中 $x^2$ 的系数为 5, 则 $a=$()

A. -4　　　　　　　B. -3　　　　　　　C. -2　　　　　　　D. -1

🔍【思路分析】

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6. 分析乘法结构：多项式乘法展开后，结果中的 $x^2$ 项来源于：
   • $(1+ax)$ 中的常数项 $1$ 与 $(1+x{)}^5$ 展开式中的 $x^2$ 项相乘。
   • $(1+ax)$ 中的一次项 $ax$ 与 $(1+x{)}^5$ 展开式中的 $x^1$ 项相乘。
7. 利用二项式定理：
   • $(1+x{)}^5$ 展开式的通项公式为 $T_{r+1}=C_5^r{x}^r$。
   • 分别求出 $x^2$ 项和 $x^1$ 项的系数。
8. 建立方程：将两部分的贡献相加并令其等于 5，解出 $a$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

第一步：求 $(1+x{)}^5$ 展开式的特定项系数 由二项式展开公式： $(1+x{)}^5=C_5^0+C_5^{1}x+C_5^2{x}^2+C_5^3{x}^3+C_5^4{x}^4+C_5^5{x}^5$

• $x^1$ 项的系数为 $C_5^1=5$；
• $x^2$ 项的系数为 $C_5^2=\frac{5\times 4}{2\times 1}=10$。

第二步：分析 $(1+ax)(1+x{)}^5$ 的展开式 展开式中 $x^2$ 的来源如下：

1. $1\times (C_5^2{x}^2)=10x^2$
2. $ax\times (C_5^{1}x)=a\cdot 5x^2=5a{x}^2$

第三步：建立并解方程 合并同类项，得到 $x^2$ 的总系数为： $10+5a=5$ 解方程： $5a=-5$ $a=-1$

故选：D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式展开式通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$ 的灵活运用。

核心方法：对应相乘法。处理 $(A+B)(C+D{)}^n$ 型题目时，先列出可能组成目标项的所有组合，再分别计算其系数并求和。

避坑指南：计算组合数 $C_5^2$ 时务必准确；注意系数包含符号（本题 $a$ 虽为负值但在等式左侧作为变量出现）。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：杨辉三角、组合数的性质、二项式展开式中系数和的性质。

结论推广：在 $(1+ax{)}^m(1+x{)}^n$ 的展开式中寻找 $x^r$ 的系数，可利用组合数的恒等式进行通项分析。

方法推广：对于更复杂的展开式如 $(1+x+x^2{)}^n$，通常将其看作 $[1+(x+x^2){]}^n$ 进行二次二项式展开。

🔗【关联脉络】

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