2013-上海卷理-05 填-二项式通项

本题导读

本题考查二项式定理，以及二项展开式的通项公式。

📌【题干】

Question

（2013年上海卷(理)） 设常数 $a\in \mathbb{R}$.若 ${\left(x^2+\frac{a}{x}\right)}^5$ 的二项展开式中 $x^7$ 项的系数为 $-10$，则 $a=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 写出通项公式：利用二项展开式的通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{a}^{n-r}{b}^r$。
2. 整理 $x$ 的指数：将通项公式中的 $x$ 合并，得到关于 $r$ 的指数表达式。
3. 求解 $r$：令 $x$ 的指数等于 $7$，解出对应的 $r$ 值。
4. 建立系数方程：将 $r$ 代入系数部分，结合已知系数 $-10$ 列方程求解 $a$。

✅【答案】

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$-2$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：写出并整理通项公式 二项式 ${\left(x^2+\frac{a}{x}\right)}^5$ 展开式的通项公式为： $T_{r+1}=C_5^r\cdot (x^2{)}^{5-r}\cdot {\left(\frac{a}{x}\right)}^r$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot x^{10-2r}\cdot a^r\cdot x^{-r}$ $T_{r+1}=C_5^r\cdot a^r\cdot x^{10-3r}$

第二步：确定 $x^7$ 项对应的 $r$ 令 $x$ 的指数为 $7$： $10-3r=7$ $3r=3⟹r=1$

第三步：利用系数求 $a$ 当 $r=1$ 时，该项的系数为 $C_5^1\cdot a^1$。 已知该系数为 $-10$，则： $5\cdot a=-10$ $a=-2$

故填入答案为：$-2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：通项公式 $T_{r+1}=C_n^r{A}^{n-r}{B}^r$ 的灵活运用。

核心方法：“指数定项，系数定量”。先通过 $x$ 的幂次锁定是哪一项，再通过系数相等求解未知数。

避坑指南：- 注意通项公式是 $T_{r+1}$ 而不是 $T_r$。 - 在合并 $x$ 的指数时，$\frac{1}{x}$ 要看作 $x^{-1}$，计算不要出错。 - 系数部分包含 $C_n^r$ 和 $a^r$ 两部分，不要漏掉常数项。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式系数的性质（对称性、增减性与最大值）、二项式系数的和。

结论推广：若要求展开式中的常数项，则令 $x$ 的指数为 $0$。

方法推广：“指数定项，系数定量”。先通过 $x$ 的幂次锁定是哪一项，再通过系数相等求解未知数。

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