2026-北京卷-17 解-统计概率综合

本题导读

本题考查概率与统计的综合应用。第一问通过频数分布直接计算特定区间的频率以估计概率；第二问利用频率估计三类事件的发生概率，并通过多重复合的独立重复试验求得特定组合的发生概率；第三问属于创新性概念辨析题，通过对分组数据不同代表值（左端点、中点、右端点）所引致的非等组距整体向右非均匀偏移，定性与定量分析数据方差的变化规律。

📌【题干】

Question

（2026年北京卷）现从全校学生中随机抽取 200 人统计某项体能指标，数据按区间 $[81,94]$, $(94,107]$, $(107,120]$, $(120,135]$, $(135,150]$ 分组，频数依次为$40,60,60,32,8$每个学生指标相互独立.

(1) 估计该指标不超过 120 的概率；

(2) 将指标 $\ge 120$ 记为“偏高”， $\le 94$ 记为“偏低”，其余为“正常”.用频率估计概率，从全体学生中独立随机抽取 4 人，求恰有 2 人“偏高”且 2 人“偏低”的概率；

(3) 若把每组数据分别用其区间的左端点、中点、右端点代表，所得三组数据的方差分别记为 $s_1^2$ , $s_2^2$ , $s_3^2$ ，试比较其大小并说明理由.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一问分析：

• 指标不超过 120 的区间包括前三组： $[81,94]$、 $(94,107]$、 $(107,120]$。
• 将前三组的频数相加，除以总样本容量 200，得到该事件的频率，用作概率的估计值。

2. 第二问分析：

• 首先算出“偏高”、“偏低”、“正常”三类事件在样本中的频率，作为各自的概率。
• 独立随机抽取 4 人，属于独立重复试验。目标事件为“2人偏高，2人偏低，0人正常”。
• 利用组合数计算在 4 人中指定 2 人偏高、剩余 2 人偏低的排布方案数 ${\text{C}}_4^2$，再乘以各自概率的平方。

3. 第三步分析：

• 分析三组代表值的具体数值分布。前三组的组距为 $94-81=13$，后两组的组距为 $135-120=15$。由于组距不等，从“左端点”到“中点”再到“右端点”，各个数据点整体右移，但高值组的移动量（增幅 7.5）大于低值组（增幅 6.5）。
• 这种不均匀的右移使得高值数据点相比于均值被进一步向外推，导致数据的离散程度（离差平方和）逐次增大，从而判定方差的大小顺序。

✅【答案】

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(1) $0.8$ (2) $\frac{6}{625}$ (3) $s_1^2<s_2^2<s_3^2$

✍【详细解析】

Abstract

(1) 估计该指标不超过 120 的概率

不超过 120 的样本学生分布在前三组区间内，其频数之和为： $M=40+60+60=160$ 已知抽取的总总人数为 $N=200$，因此该指标不超过 120 的频率为： $\nu =\frac{160}{200}=\frac{4}{5}=0.8$ 用频率估计概率，该指标不超过 120 的概率为 $0.8$。

(2) 求恰有 2 人“偏高”且 2 人“偏低”的概率

根据各区间频数分布，计算三类特征的发生频率：

• “偏低”（$\le 94$）：分布在第一组，频数为 40，概率为 $P_1=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}$；
• “偏高”（$\ge 120$）：分布在后两组，频数之和为 $32+8=40$，概率为 $P_2=\frac{40}{200}=\frac{1}{5}$；
• “正常”（其余）：分布在第二、三组，频数之和为 $60+60=120$，概率为 $P_{\text{中}}=\frac{120}{200}=\frac{3}{5}$。

现独立随机抽取 4 人，各人指标相互独立。事件“恰有 2 人偏高且 2 人偏低”意味着正常人数为 0。 根据多项独立重复试验概率公式，该特定组合的发生概率为： $P={\text{C}}_4^2\cdot (P_2{)}^2\cdot (P_1{)}^2$ 代入数据计算： $P=\frac{4\times 3}{2\times 1}\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^2=6\times \frac{1}{25}\times \frac{1}{25}=\frac{6}{625}$ 所以，满足条件的概率为 $\frac{6}{625}$。

**(3)

比较 $s_1^2$ , $s_2^2$ , $s_3^2$ 的大小并说明理由** 结论： $s_1^2<s_2^2<s_3^2$

理由分析： 各组对应的数据频率依次为 $\omega =(0.2,0.3,0.3,0.16,0.04)$。 观察各组的组距：

• 前三组的组距均为 $94-81=107-94=120-107=13$；
• 后两组的组距均为 $135-120=150-135=15$。

由于各组数据的组距不相等，后两组（高值组）的组距大于前三组（低值组）的组距。 当代表值从“左端点”切换到“中点”再切换到“右端点”时：

• 前三组（低值部分）的数值每次平移量为 $\frac{13}{2}=6.5$；
• 后两组（高值部分）的数值每次平移量为 $\frac{15}{2}=7.5$。

这种非等距的平移使得数据在整体向右移动的同时，高值组向右移动的位移量更大。 根据方差的几何意义，方差衡量的是数据点相对于算术平均数的偏离程度。 若所有组距相等，整体等距平移不会改变数据的相对间距，方差将保持不变。 但本题中，随着代表值整体向右切换，高值组以更快的速度向右外侧扩展，导致高值组的数据点距离整体均值的相对偏差平方被进一步放大，产生的离差平方和（即方差贡献）依次递增。 因此，数据的离散程度随代表值从左向右切换而逐次增大。 即满足 $s_1^2<s_2^2<s_3^2$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：频数直方图的区间频率转化；多标号独立重复试验的组合概率控算；加权方差在非齐次数据伸缩变换下的性态判定。
2. 核心方法：多项式分布化简法、离差拉伸分析法。
3. 避坑指南：

• 漏掉多重试验的排布数：在第二问中，部分学生容易直接写出 ${\left(\frac{1}{5}\right)}^2\times {\left(\frac{1}{5}\right)}^2=\frac{1}{625}$，漏掉了 4 个人中指定 2 人偏高、2 人偏低的组合排列种数 ${\text{C}}_4^2=6$。
• 第三问定性判断出错：习惯了“整体平移方差不变”定理的学生，容易不加思索地断定 $s_1^2=s_2^2=s_3^2$。必须高度警惕组距不等这一隐蔽条件。由于后两组的组距 15 大于前三组的 13，这不是标准的刚体平移，而带有局部的向外拉伸，从而引发方差单调递增。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题是考查“概率与统计”的大型解答综合题（第 17 题位置），在第三问的设问上极具创新性与区分度，跳出了死记硬背公式的窠臼，从方差本质定义的几何层面考查学生的数学推演素养。
2. 结论推广： 一般地，对于加权方差公式 $s^2=\sum {\omega }_i(x_i-\bar{x}{)}^2$，若对变量进行非线性或不均匀变换 $x_i^{\prime }=x_i+{\Delta }_i$，其新方差的变化取决于位移变化量 ${\Delta }_i$ 的单调性。若 ${\Delta }_i$ 随 $x_i$ 的增大而增大（即高值项移动更剧烈），整个数据分布链被横向拉拉伸，新方差必单调增大；反之，若高值项移动量小，数据向中心坍缩，新方差必减小。这一规律在现代统计学的数据归一化与异方差性修正中拥有广泛的应用价值。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 14.03 频率分布直方图中的数据计算
• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-06 单-平均数与方差
• 2013-山东卷文-10 单-茎叶图方差
• 2013-江苏卷-06 填-平均数