2026-天津卷-09 单-双曲线离心率

本题导读

本题考查双曲线离心率的求解。核心在于结合等腰三角形的性质与双曲线的第一定义，将几何长度条件 $|FA|=|FP|$ 以及角度条件转化为含有双曲线基本量 $a,c$ 的代数方程，进而解出离心率 $e=\frac{c}{a}$。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）已知双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ ($a>0,b>0$) 的左焦点为 $F$，右顶点为 $A$.点 $P$ 是双曲线一点，满足 $|FA|=|FP|$，且 $\angle FAP=30^{\circ }$，则双曲线离心率为()

A. 4　　　　　　　B. $\frac{8}{3}$　　　　　　　C. $\frac{8}{5}$　　　　　　　D. $\frac{4}{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：明确已知特征点的长度：左焦点 $F(-c,0)$，右顶点 $A(a,0)$，所以 $|FA|=c+a$。
2. 第二步：利用等腰三角形性质求出点 $P$ 的焦半径：

• 因为 $|FA|=|FP|$，所以 $△FAP$ 为等腰三角形，其顶角为 $\angle AFP$。
• 已知底角 $\angle FAP=30^{\circ }$，则另一个底角 $\angle FPA=30^{\circ }$，从而可求得顶角 $\angle AFP=120^{\circ }$。
• 过 $F$ 作 $x$ 轴的垂线或者利用余弦定理求出点 $P$ 到右焦点 $F^{\prime }$的距离（或直接通过平面解析几何求出 $P$ 的坐标）。

3. 第三步：引入右焦点并应用双曲线定义：设右焦点为 $F^{\prime }(c,0)$。在 $△PF{F}^{\prime }$ 中利用余弦定理或几何位置关系建立关于 $a,c$ 的齐次方程，利用双曲线第一定义 $||PF|-|P{F}^{\prime }||=2a$ 求解。

✅【答案】

点击查看答案

D

✍【详细解析】

Abstract

由双曲线方程可知，左焦点 $F(-c,0)$，右顶点 $A(a,0)$。 所以线段 $FA$ 的长度为 $|FA|=c+a$

因为 $|FA|=|FP|$，所以 $△FAP$ 是以 $F$ 为顶角、$\angle FAP=\angle FPA=30^{\circ }$ 的等腰三角形，其顶角 $\angle AFP=180^{\circ }-30^{\circ }-30^{\circ }=120^{\circ }$

由于 $A,F,F^{\prime }$ 三点共线且 $F$ 在 $A$ 与 $F^{\prime }$ 的左侧（均位于 $x$ 轴上），射线 $FA$ 与射线 $F{F}^{\prime }$ 同向（均沿 $x$ 轴正方向），故向量 $\overrightarrow{FP}$ 与 $x$ 轴正方向夹角为 $120^{\circ }$。 又 $|FP|=|FA|=a+c$，于是点 $P$ 的坐标为 $P=\left(-c+(a+c)\cos 120^{\circ },(a+c)\sin 120^{\circ }\right)=\left(-\frac{a+3c}{2},\frac{\sqrt{3}(a+c)}{2}\right)$

将 $P$ 代入双曲线方程 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$（其中 $b^2=c^2-a^2$），得 $\frac{(a+3c{)}^2}{4a^2}-\frac{3(a+c{)}^2}{4(c^2-a^2)}=1$ 两边同乘 $4$，并设离心率 $e=\frac{c}{a}$（故 $c=ae,c^2-a^2=a^2(e^2-1)$），化简： $(1+3e{)}^2-\frac{3(1+e{)}^2}{e^2-1}=4$ 注意到 $e^2-1=(e-1)(e+1)$，于是 $\frac{3(1+e{)}^2}{(e-1)(e+1)}=\frac{3(1+e)}{e-1}$ 代回得 $1+6e+9e^2-\frac{3(1+e)}{e-1}=4$ 移项整理： $9e^2+6e-3=\frac{3(1+e)}{e-1}⟹3e^2+2e-1=\frac{1+e}{e-1}$ 左边因式分解 $3e^2+2e-1=(3e-1)(e+1)$，两边同除以 $(e+1)\ne 0$： $3e-1=\frac{1}{e-1}$ 即 $(3e-1)(e-1)=1⟹3e^2-4e=0⟹e(3e-4)=0$ 因为双曲线离心率 $e>1$，故 $e=\frac{4}{3}$

故选 D．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：双曲线焦点到顶点的距离代数式（$|FA|=c+a$）；利用三角形余弦定理处理非直角焦点三角形的边长；双曲线第一定义（$|P{F}^{\prime }|-|PF|=2a$）的方程构建。
2. 核心方法：几何性质齐次化法。
3. 避坑指南：在应用双曲线定义时，必须看清点 $P$ 所在的支系。由于 $|FP|=c+a>c-a$，点 $P$ 到左焦点的距离大于右顶点到左焦点的最短距离，因此点 $P$ 落在双曲线的左支上。在使用定义时，必须用较长的右焦半径 $|P{F}^{\prime }|$ 减去较短的左焦半径 $|PF|$，若将减法顺序颠倒会导致算出的离心率不符合 $e>1$ 的定义。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷理科选择题后半段（第 9 题左右）对圆锥曲线基本性质考查的典型题型。重点考查焦点三角形与三角形几何定理（如正弦、余弦定理）的有机结合。
2. 结论推广：对于任意双曲线 $\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$，若左焦点 $F$、右顶点 $A$ 与双曲线左支上一点 $P$ 构成的 $△FAP$ 满足 $|FA|=|FP|$ 且 $\angle FAP=\theta$，其顶角为 $180^{\circ }-2\theta$。可以通过本题的通用求解流程推广得出离心率 $e$ 与角度 $\theta$ 的普适关系公式： $e=\frac{1+\cos 2\theta }{\cos 2\theta -\cos (180^{\circ }-2\theta )}\text{等代数形式}$ 本题中 $\theta =30^{\circ }$，利用该几何对称结构直接化简，最终能快速锁定离心率恒为定值 4。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结
• 18.06 离心率专题

类题演练 (Links)

• 2013-湖南卷理-14 填-双曲线定义
• 2008-大纲卷II文-11 单-双曲线焦点三角形离心率
• 2008-安徽卷文-14 填-双曲线离心率