2026-天津卷-10 填-复数

本题导读

本题考查复数的代数代数代数代数基础运算。核心在于利用完全平方公式将复数式展开，并结合虚数单位 $i^2=-1$ 的基本性质将结果化简为标准代数形式 $a+bi$。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）$i$ 为虚数单位，化简 $(3+i{)}^2=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步：应用完全平方公式展开：根据 $(a+b{)}^2=a^2+2ab+b^2$，将 $(3+i{)}^2$ 展开为 $3^2+2\times 3\times i+i^2$。
2. 第二步：利用虚数单位性质化简：将 $i^2$ 替换为 $-1$。
3. 第三步：合并同类项：将实部与实部合并，得出最终的复数代数形式。

✅【答案】

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$8+6i$

✍【详细解析】

Abstract

根据复数的完全平方公式展开： $(3+i{)}^2=3^2+2\times 3\times i+i^2$ $=9+6i+i^2$

因为 $i$ 是虚数单位，满足 $i^2=-1$，代入上式得： $9+6i-1$

将实部进行合并： $(9-1)+6i=8+6i$

故答案为： $8+6i$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：复数的乘法与乘方运算；虚数单位的定义（$i^2=-1$）。
2. 核心方法：多项式代数化简法。
3. 避坑指南：在计算完全平方时，容易出现两类常见代数错误：一是漏掉中间的交叉项 $2ab$，误算为 $3^2+i^2=9-1=8$；二是处理 $i^2$ 时符号弄错，误记为 $i^2=1$，导致算出 $9+6i+1=10+6i$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考天津卷填空题的第一道基础题，主要测试新教材必修第二册中“复数”模块的最基本运算。
2. 结论推广：对于任意形如 $z=(a+bi{)}^2$ ($a,b\in \mathbb{R}$) 的复数乘方，其化简后的通用代数表达公式为： $z=(a^2-b^2)+2abi$ 本题中 $a=3,b=1$，直接代入推广公式可得实部为 $3^2-1^2=8$，虚部为 $2\times 3\times 1=6$，即得 $8+6i$。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2005-山东卷理-01 单-复数的代数运算
• 2008-天津卷理-01
• 2008-安徽卷理-01