2014-江苏卷-23 解-复合函数求导

本题导读

本题是全卷压轴题，考查高阶导数的规律探究。通过将分式函数转化为乘积形式并利用数学归纳法，证明关于 n 阶导数的通用等式。

📌【题干】

Question

（2014年江苏卷） 已知函数 $f_0(x)=\frac{\sin x}{x}$ ($x>0$)，设 $f_n(x)$ 为 $f_{n-1}(x)$ 的导数，$n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$.

(1) 求 $2f_1(\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{2}{f}_2(\frac{\pi }{2})$ 的值；

(2) 证明：对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，等式 $|n{f}_{n-1}(\frac{\pi }{4})+\frac{\pi }{4}{f}_n(\frac{\pi }{4})|=\frac{\sqrt{2}}{2}$ 都成立.

🔍【思路分析】

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1. 第一问：利用 $x{f}_0(x)=\sin x$。两边连续求导，可以得到 $f_n$ 之间的递推关系，避免直接对分式求高阶导数的繁琐计算。
2. 第二问：
   • 建立通项：由第一问的求导过程，猜想并证明 $n{f}_{n-1}(x)+x{f}_n(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$。
   • 归纳证明：利用数学归纳法证明该猜想对所有 $n$ 成立。
   • 代值验证：将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入，利用三角函数的周期性与诱导公式计算模长。

✅【答案】

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所以其绝对值恒为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。命题得证

✍【详细解析】

Abstract

(1) 解： 由 $f_0(x)=\frac{\sin x}{x}$ 得 $x{f}_0(x)=\sin x$。 两边求导：$f_0(x)+x{f}_1(x)=\cos x$。 继续求导：$f_1(x)+f_1(x)+x{f}_2(x)=-\sin x$，即 $2f_1(x)+x{f}_2(x)=-\sin x$。 令 $x=\frac{\pi }{2}$，得 $2f_1(\frac{\pi }{2})+\frac{\pi }{2}{f}_2(\frac{\pi }{2})=-\sin \frac{\pi }{2}=-1$。

(2) 证明： 证明猜想：$n{f}_{n-1}(x)+x{f}_n(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$。 ① 当 $n=1$ 时，$1\cdot f_0(x)+x{f}_1(x)=\cos x=\sin (x+\frac{\pi }{2})$，成立。 ② 假设 $n=k$ 时成立，即 $k{f}_{k-1}(x)+x{f}_k(x)=\sin (x+\frac{k\pi }{2})$。 两边求导：$k{f}_k(x)+f_k(x)+x{f}_{k+1}(x)=\cos (x+\frac{k\pi }{2})=\sin (x+\frac{k\pi }{2}+\frac{\pi }{2})$。 整理得：$(k+1)f_k(x)+x{f}_{k+1}(x)=\sin (x+\frac{(k+1)\pi }{2})$。 故 $n=k+1$ 时也成立。 因此，对任意 $n\in {\mathbb{N}}^{\ast }$，$n{f}_{n-1}(x)+x{f}_n(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$ 恒成立。 将 $x=\frac{\pi }{4}$ 代入： $|n{f}_{n-1}(\frac{\pi }{4})+\frac{\pi }{4}{f}_n(\frac{\pi }{4})|=|\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2})|$。 因为 $\sin (\frac{\pi }{4}+\frac{n\pi }{2})$ 的可能取值为 $\pm \frac{\sqrt{2}}{2}$， 所以其绝对值恒为 $\frac{\sqrt{2}}{2}$。命题得证。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：高阶导数的递推规律与数学归纳法

2. 核心方法：将分式函数化为乘积形式求导，用数学归纳法证明恒等式

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 高阶导数与三角函数的诱导公式

2. 结论推广: $n{f}_{n-1}(x)+x{f}_n(x)=\sin (x+\frac{n\pi }{2})$ 对任意 $n$ 成立。

3. 方法推广: 高阶导数规律题可先化乘积再递推求导

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 10.01 两角和与差及辅助角公式
• 07.02 三角函数的定义与诱导公式
• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练 (Links)

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