2026-天津卷-13 填-概率

本题导读

本题考查概率论中独立重复试验概率与条件概率的综合计算。核心在于明确有放回抽取属于独立重复试验，并通过缩减样本空间的方法简化条件概率的求解。

📌【题干】

Question

（2026年天津卷）箱子里装有一个红球，两个黄球，三个白球.有放回的从箱子中取三次，在取到的三次中都没有取到黄球的概率是$\underline{}$；在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的概率是$\underline{}$.

🔍【思路分析】

破题导航

1. 第一步分析基础概率：总球数为 6，单次不取到黄球（即取出红球或白球）的概率为 $\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$。
2. 第二步计算第一空：由于是有放回抽取，三次试验独立。三次均未取到黄球的概率为单次概率的立方。
3. 第三步计算第二空：已知三次均未取到黄球，可将黄球从样本空间中剥离，箱内视作只有 1 红球和 3 白球。利用对立事件法求出全白球的概率，再用 1 减去该概率。

✅【答案】

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$\frac{8}{27}$ ； $\frac{37}{64}$

✍【详细解析】

Abstract

箱子内球的总数为 $1+2+3=6$ 个。 单次抽取中，取到黄球的概率为 $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$，未取到黄球的概率为 $1-\frac{1}{3}=\frac{2}{3}$。

• 第一空： 设事件 $A$ 为“有放回地抽取三次，三次中都没有取到黄球”。 各次试验相互独立，故： $P(A)={\left(\frac{2}{3}\right)}^3=\frac{8}{27}$

• 第二空： 使用缩减样本空间法：在事件 $A$ 发生的条件下，黄球被排除。新样本空间内只有 1 个红球和 3 个白球，总数为 4 个。 设事件 $B$ 为“至少取到一次红球”，其在新样本空间下的对立事件 $\overline{B}$ 为“三次抽到的全为白球”。 有放回抽取三次全为白球的概率为： $P(\overline{B}|A)={\left(\frac{3}{4}\right)}^3=\frac{27}{64}$ 因此，在三次都没取到黄球的条件下，至少取到一次红球的条件概率为： $P(B|A)=1-P(\overline{B}|A)=1-\frac{27}{64}=\frac{37}{64}$

故答案为： $\frac{8}{27}$ ； $\frac{37}{64}$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：独立重复试验的概率乘法原理；条件概率的性质与缩减样本空间计算法。
2. 核心方法：对立事件转化法。
3. 避坑指南：注意“有放回”这一关键条件，每次抽取的概率结构保持恒定，切勿混淆为无放回抽样。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源： 本题考查选择性必修第三册中条件概率与古典概型的交汇，是高考中考查概率基础概念的经典变式题。
2. 结论推广： 包含 $r$ 个红球, $y$ 个黄球, $w$ 个白球的摸球模型中有放回抽取 $n$ 次。在不出现黄球的条件下，特定球出现的条件概率等价于直接剥离黄球维度后，以 $\frac{r}{r+w}$ 和 $\frac{w}{r+w}$ 为概率元构建的二项分布模型。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性
• 23.01 条件概率与乘法公式

类题演练 (Links)

• 2004-广东卷理-06 单-相互独立事件的概率
• 2004-福建理-15 填-相互独立事件的概率
• 2008-大纲卷II文-19 解-射击独立事件概率