2014-新课标II卷理-15 填-偶函数定义与性质

本题导读

本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用。解题的关键是利用偶函数的性质 $f(x)=f(|x|)$ 将抽象函数不等式转化为关于自变量绝对值的不等式，再结合单调性脱去函数符号。

📌【题干】

Question

（2014年新课标II卷(理)） 已知偶函数 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 单调递减，$f(2)=0$.若 $f(x-1)>0$，则 $x$ 的取值范围是 $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 利用偶函数性质变形：由于 $f(x)$ 是偶函数，根据 $f(x)=f(|x|)$，可将 $f(x-1)$ 转化为 $f(|x-1|)$。这样做的目的是将自变量统一到已知的单调区间 $[0,+\infty )$ 上。
2. 转化常数值：已知 $f(2)=0$，则不等式 $f(x-1)>0$ 可等价写为 $f(|x-1|)>f(2)$。
3. 利用单调性脱去函数符号：已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减，根据“大值对应小自变量”的原则，由 $f(|x-1|)>f(2)$ 推导出 $|x-1|$ 与 $2$ 的大小关系。
4. 解绝对值不等式：去掉绝对值符号，求出 $x$ 的最终取值范围。

✅【答案】

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$(-1,3)$

✍【详细解析】

Abstract

第一步：利用奇偶性进行等价转化 因为 $f(x)$ 是偶函数，所以对于任意 $x\in \mathbb{R}$，都有 $f(x)=f(|x|)$。 故不等式 $f(x-1)>0$ 等价于 $f(|x-1|)>0$。 又已知 $f(2)=0$，故不等式进一步转化为： $f(|x-1|)>f(2)$

第二步：利用单调性去符号 已知 $f(x)$ 在 $[0,+\infty )$ 上单调递减。 因为 $|x-1|\ge 0$ 且 $2>0$，它们均在单调区间内。 由 $f(|x-1|)>f(2)$ 可得： $|x-1|<2$

第三步：解不等式 由 $|x-1|<2$ 得： $-2<x-1<2$ 两边同时加 $1$： $-1<x<3$

故答案为 $(-1,3)$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：偶函数性质 $f(x)=f(|x|)$ 与单调性的综合应用。

2. 核心方法：把 $f(x-1)$ 化为 $f(|x-1|)$，用单调递减脱去 $f$ 得 $|x-1|<2$ 求解。

3. 避坑指南：注意审题与运算细节。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 函数的周期性与单调性结合、抽象函数不等式的通用解法。

2. 结论推广: 若 $f(x)$ 为奇函数且在 $\mathbb{R}$ 上单调递减，则 $f(x_1)>f(x_2)⟺x_1<x_2$。

3. 方法推广: 涉及 $f(x^2)$ 或 $f(|x|)$ 的复合函数问题，基本思路都是利用对称性将研究对象固定在同一个单调区间内。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

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