2007-上海卷文-04 填-三角函数周期

本题导读

本题考查三角函数的化简求值，以及三角函数的周期。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(文)） 函数 $y=\sec x\cdot \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)$ 的最小正周期 $T=$ $\underline{}$.

🔍【思路分析】

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1. 先化简：$\cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=-\sin x$（诱导公式），$\sec x=\frac{1}{\cos x}$。
2. 化简得 $y=-\tan x$，注意定义域 $\cos x\ne 0$。
3. 正切函数的最小正周期为 $\pi$。

✅【答案】

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$\pi$

✍【详细解析】

Abstract

在函数的定义域 $\cos x\ne 0$ 上， $y=\sec x\cdot \cos \left(x+\frac{\pi }{2}\right)=\frac{1}{\cos x}(-\sin x)=-\tan x.$ 正切函数的最小正周期为 $\pi$，所以该函数的最小正周期为 $T=\pi$． （易错点：化简后形式变为 $-\tan x$，但定义域仍受 $\cos x\ne 0$ 限制，比 $\tan x$ 的定义域更窄；不过这不影响最小正周期。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：三角函数周期

核心方法：先化简再套周期公式

避坑指南：sec x·cos(x+π/2) 化简为 -tan x，周期是 π 不是 2π；化简前别急着套公式

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”三角函数的图象与性质”

结论推广：y=A tan(ωx+φ) 的最小正周期为 π/|ω|；切弦类型不同周期公式不同

方法推广：求周期先化成一个角的一个函数名（sin/cos/tan），再按类型选公式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.03 三角函数的图象与性质

类题演练(Links)

• 2010-山东卷文-17 解-三角周期与最值
• 2010-大纲卷I文-01 单-诱导公式求值
• 2010-天津卷文-08 单-三角图象平移伸缩