2007-上海卷理-12 单-韦达定理

本题导读

本题考查实系数一元二次方程虚根的性质及韦达定理。利用实系数方程的虚根成对原理确定两根互为共轭复数，进而通过韦达定理求解方程系数。

📌【题干】

Question

（2007年上海卷(理)） 已知 $a,b\in \mathbf{R}$，且 $2+a\text{i},b+\text{i}$（$\text{i}$ 是虚数单位）是实系数一元二次方程 $x^2+px+q=0$ 的两个根，那么 $p,q$ 的值分别是()

A. $p=-4,q=5$　　　　　　　　　　　　　　B. $p=-4,q=3$

C. $p=4,q=5$　　　　　　　　　　　　　　D. $p=4,q=3$

🔍【思路分析】

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1. 确定复根关系：因一元二次方程的系数均为实数，其两个虚根必互为共轭复数，由此列出关于 $a,b$ 的方程组。

2. 求解系数：确定方程的两根后，利用韦达定理的根系关系直接求出 $p$ 和 $q$ 的值。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

因为一元二次方程 $x^2+px+q=0$ 的系数 $p,q$ 均为实数，且有两个复数根 $2+a\text{i}$ 和 $b+\text{i}$， 由实系数方程虚根成对原理可知，这两个复数根必互为共轭复数． 根据共轭复数的定义，其实部分别相等，虚部互为相反数，即： $\{\begin{array}{l}b=2\\ a=-1\end{array}$ 因此，该方程的两个复数根分别为 $2-\text{i}$ 和 $2+\text{i}$． 根据一元二次方程的韦达定理可得： $-p=(2-\text{i})+(2+\text{i})=4⟹p=-4$ $q=(2-\text{i})(2+\text{i})=2^2-{\text{i}}^2=4-(-1)=5$ 综上所述，$p=-4,q=5$． 故选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：实系数方程虚根的共轭特性，共轭复数的代数定义，复数域下的韦达定理。

2. 核心方法：共轭复数系数对应法。

3. 避坑指南：必须注意“实系数”这一关键前提条件，若方程系数含有虚数，虚根成对原理将不再适用；计算 $q$ 时注意 ${\text{i}}^2=-1$，避免符号算错。

📖【试题探源与推广】

Tip

4. 试题探源：本题源于代数基本定理中关于实多项式方程根的性质，是教材中复数代数运算与一元二次方程根系关系融合后的经典概念题。

5. 结论推广：对于任意实系数多项式方程 $A{x}^2+Bx+C=0$，若存在虚根 $x_1=m+n\text{i}$ ($n\ne 0$)，则另一根必为 $x_2=m-n\text{i}$，且恒有 $-\frac{B}{A}=2m,\frac{C}{A}=m^2+n^2$．

🔗【关联脉络】

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