2018-全国卷I理-02 单-一元二次不等式

本题导读

本题考查一元二次不等式的解法，以及集合的补集运算。

📌【题干】

Question

（2018年全国卷I理）已知集合 $A=\{x\mid x^2-x-2>0\}$，则 ${\complement }_{R}A=$()

A. $\{x\mid -1<x<2\}$　　　　　　　　　　　　　　　B. $\{x\mid -1\le x\le 2\}$

C. $\{x\mid x<-1\}\cup \{x\mid x>2\}$　　　　　　　　　　　　　D. $\{x\mid x\le -1\}\cup \{x\mid x\ge 2\}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 解不等式求集合 A：对二次三项式 $x^2-x-2$ 进行因式分解，利用“大于取两边”的原则得出 $A$ 的范围。
2. 求补集：补集 ${\complement }_{R}A$ 是指在实数范围内不属于 $A$ 的部分。

• 若 $A$ 是 $(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$，则其补集为 $[x_1,x_2]$。
• 特别注意：原不等式是不带等号的“$>$”，补集必须带等号“$\le$”。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

【答案】 B

【解析过程】 首先解集合 $A$ 中的一元二次不等式： $x^2-x-2>0$ 因式分解得： $(x-2)(x+1)>0$ 解得：$x>2$ 或 $x<-1$。 所以集合 $A=\{x\mid x<-1\text{ 或 }x>2\}$。

在实数集 $R$ 中，集合 $A$ 的补集为满足 $x^2-x-2\le 0$ 的部分。 由 $x<-1\text{ 或 }x>2$ 的否定得： $-1\le x\le 2$ 即 ${\complement }_{R}A=\{x\mid -1\le x\le 2\}$。

故选 B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 端点开闭：这是本题唯一的易错点。

• ${\complement }_R(a,b)=(-\infty ,a]\cup [b,+\infty )$
• ${\complement }_R(-\infty ,a)\cup (b,+\infty )=[a,b]$ 记住：补集运算会改变端点的包含状态（开变闭，闭变开）。

2. 因式分解技巧：十字相乘法是处理此类简单二次不等式的必备工具。

📖【试题探源与推广】

Tip

在 Obsidian 笔记中，可以整理下表的对应关系（设 $x_1<x_2$）：

不等式形式	对应函数图象特征	解集口诀	解集区间
$(x-x_1)(x-x_2)>0$	开口向上，取 $x$ 轴上方	大于取两边	$(-\infty ,x_1)\cup (x_2,+\infty )$
$(x-x_1)(x-x_2)<0$	开口向上，取 $x$ 轴下方	小于取中间	$(x_1,x_2)$

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 03.01 不等式解法体系
• 01.01集合的含义、表示与基本运算

类题演练 (Links)

• 2010-山东卷文-01 单-补集运算
• 2011-北京卷文-01 单-集合补集区间
• 2011-重庆卷文-02 单-集合补集