2007-四川卷文-05 单-双曲线焦半径求距离

本题导读

本题考查双曲线的标准方程，以及双曲线焦半径的坐标计算。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 如果双曲线 $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{2}=1$ 上一点 $P$ 到双曲线右焦点的距离是 2，那么点 $P$ 到 $y$ 轴的距离是 ()

A. $\frac{4\sqrt{6}}{3}$　　　　　　B. $\frac{2\sqrt{6}}{3}$　　　　　　C. $2\sqrt{6}$　　　　　　D. $2\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. $a^2=4$，$b^2=2$，$c=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，右焦点 $F(\sqrt{6},0)$。
2. 设 $P(x,y)$：$(x-\sqrt{6}{)}^2+y^2=4$，且 $y^2=\frac{x^2}{2}-2$。
3. 消 $y$：$x^2-2\sqrt{6}x+6+\frac{x^2}{2}-2=4$，即 $\frac{3}{2}{x}^2-2\sqrt{6}x=0$。
4. $x=0$ 时 $y^2=-2$ 不成立，舍去；故 $x=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，到 $y$ 轴距离为 $|x|=\frac{4\sqrt{6}}{3}$。

✅【答案】

点击查看答案

A

✍【详细解析】

Abstract

双曲线的半焦距 $c=\sqrt{4+2}=\sqrt{6}$，右焦点为 $F(\sqrt{6},0)$． 设 $P(x,y)$，由 $PF=2$ 得 $(x-\sqrt{6}{)}^2+y^2=4$；由双曲线方程得 $y^2=\frac{x^2}{2}-2$． 代入消去 $y$： $x^2-2\sqrt{6}x+6+\frac{x^2}{2}-2=4$，即 $\frac{3}{2}{x}^2-2\sqrt{6}x=0$． 若 $x=0$，则 $y^2=-2$，不可能，故 $x=\frac{2\sqrt{6}}{3/2}=\frac{4\sqrt{6}}{3}>0$． 点 $P$ 到 $y$ 轴的距离为 $|x|=\frac{4\sqrt{6}}{3}$，选 A．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：双曲线焦半径求距离

核心方法：$c=\sqrt{6}$，$(x-\sqrt{6}{)}^2+y^2=4$ 与 $y^2=\frac{x^2}{2}-2$ 联立消 $y$，$x=\frac{4\sqrt{6}}{3}$

避坑指南：$x=0$ 的解给 $y^2=-2$ 必须舍去；到 $y$ 轴的距离是 $|x|$ 不是 $x$，也别算成到 $x$ 轴的距离 $|y|$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：双曲线焦半径问题源自教材双曲线定义的坐标化，与四川理 5 题同源

结论推广：一般地，$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1$ 上到焦点距离为定值的点横坐标可由联立直接解出

方法推广：圆锥曲线上点到焦点距离问题，统一用”距离方程与曲线方程联立消元”处理

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 18.02 双曲线专题全总结

类题演练(Links)

• 2015-四川卷文-07 单-双曲线渐近线
• 2014-四川卷文-11 填-双曲线离心率
• 2009-重庆卷文-20 解-双曲线定义最值
• 2013-四川卷文-05 单-抛物线焦点距离