2007-四川卷文-21 解-椭圆数量积与锐角范围

本题导读

本题考查椭圆的标准方程与焦点。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)） 已知 $F_1$、$F_2$ 分别是椭圆 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 的左、右焦点．

(1) 若 $P$ 是第一象限内该椭圆上的一点，且 $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=-\frac{5}{4}$，求点 $P$ 的坐标；

(2) 设过定点 $M(0,2)$ 的直线 $l$ 与椭圆交于不同的两点 $A$、$B$，且 $\angle AOB$ 为锐角（其中 $O$ 为坐标原点），求直线 $l$ 的斜率 $k$ 的取值范围．

🔍【思路分析】

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1. $a^2=4$，$b^2=1$，$c=\sqrt{3}$，$F_1(-\sqrt{3},0)$，$F_2(\sqrt{3},0)$。
2. (1) 设 $P(x,y)$（$x>0$，$y>0$）：$\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=x^2+y^2-3=-\frac{5}{4}$，即 $x^2+y^2=\frac{7}{4}$。
3. 与 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$ 相减得 $\frac{3}{4}{x}^2=\frac{3}{4}$，$x=1$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
4. (2) $l$：$y=kx+2$ 代入椭圆：$\left(k^2+\frac{1}{4}\right)x^2+4kx+3=0$。
5. $\Delta =4k^2-3>0$ 给 $|k|>\frac{\sqrt{3}}{2}$。
6. $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=(1+k^2)x_1{x}_2+2k(x_1+x_2)+4=\frac{4(4-k^2)}{4k^2+1}$，锐角要求其大于 0：$|k|<2$。
7. 综上 $k\in \left(-2,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$。

✅【答案】

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(1) $P\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；(2) $k\in \left(-2,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$

✍【详细解析】

Abstract

椭圆的长半轴 $a=2$，短半轴 $b=1$，故 $c=\sqrt{a^2-b^2}=\sqrt{3}$，$F_1=(-\sqrt{3},0)$，$F_2=(\sqrt{3},0)$． (1) 设第一象限内的点 $P(x,y)$，则 $x>0$，$y>0$，且 $\frac{x^2}{4}+y^2=1$． $\overrightarrow{P{F}_1}=(-\sqrt{3}-x,-y)$，$\overrightarrow{P{F}_2}=(\sqrt{3}-x,-y)$， $\overrightarrow{P{F}_1}\cdot \overrightarrow{P{F}_2}=(-\sqrt{3}-x)(\sqrt{3}-x)+y^2=x^2+y^2-3$． 由题意 $x^2+y^2-3=-\frac{5}{4}$，即 $x^2+y^2=\frac{7}{4}$．与椭圆方程相减得 $\frac{3}{4}{x}^2=\frac{3}{4}$，故 $x=1$，进而 $y^2=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}$，$y=\frac{\sqrt{3}}{2}$． 所以 $P\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$． (2) 直线 $l$：$y=kx+2$，代入椭圆方程整理得 $\left(k^2+\frac{1}{4}\right)x^2+4kx+3=0$． 交于不同的两点等价于判别式大于零： $\Delta =(4k{)}^2-4\left(k^2+\frac{1}{4}\right)\cdot 3=4k^2-3>0$，故 $|k|>\frac{\sqrt{3}}{2}$． 设 $A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$，由韦达定理 $x_1+x_2=-\frac{16k}{4k^2+1}$，　$x_1{x}_2=\frac{12}{4k^2+1}$． $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=x_1{x}_2+y_1{y}_2=x_1{x}_2+(k{x}_1+2)(k{x}_2+2)=(1+k^2)x_1{x}_2+2k(x_1+x_2)+4$． 代入得 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=\frac{12(1+k^2)-32k^2+4(4k^2+1)}{4k^2+1}=\frac{16-4k^2}{4k^2+1}=\frac{4(4-k^2)}{4k^2+1}$． $\angle AOB$ 为锐角等价于 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>0$，即 $k^2<4$，$|k|<2$． 综上，$k$ 的取值范围是 $\left(-2,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：椭圆数量积与锐角范围

核心方法：(1) $x^2+y^2=\frac{7}{4}$ 与椭圆联立得 $P\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2}\right)$；(2) $\Delta >0$ 且 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}>0$，$k\in \left(-2,-\frac{\sqrt{3}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{3}}{2},2\right)$

避坑指南：锐角是数量积大于 0，直角才是等于 0；两条件（判别式与数量积）缺一不可，别忘了联立后的二次项系数含 $k$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：椭圆中数量积与斜率范围与四川理 21 题同源，锐角条件化为数量积正负是通用桥

结论推广：推广：$\angle AOB$ 为直角时 $\overrightarrow{OA}\cdot \overrightarrow{OB}=0$，可解等差中项型定值问题

方法推广：椭圆与直线综合联立后，“交点存在”看判别式，“角的范围”看数量积符号，两条件取交集

🔗【关联脉络】

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• 2009-四川卷文-21 解-椭圆向量模长
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