2007-四川卷文-22 解-切线递推数列放缩

本题导读

本题考查导数的几何意义（切线）。

📌【题干】

Question

（2007年四川卷(文)）已知函数 $f (x) = x^{2} - 4$ ，设曲线 $y = f (x)$ 在点 $(x_{n}, f (x_{n}))$ 处的切线与 $x$ 轴的交点为 $(x_{n + 1}, 0)$ （ $n \in N^{*}$ ），其中 $x_{1}$ 为正实数．

(1) 用 $x_{n}$ 表示 $x_{n + 1}$ ；

(2) 若 $x_{1} = 4$ ，记 $a_{n} = l g \frac{x _{n} + 2}{x _{n} - 2}$ ，证明数列 ${a_{n}}$ 成等比数列，并求数列 ${x_{n}}$ 的通项公式；

(3) 若 $x_{1} = 4$ ， $b_{n} = x_{n} - 2$ ， $T_{n}$ 是数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和，证明 $T_{n} < 3$ ．

🔍【思路分析】

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(1) 切线 $y - (x_{n}^{2} - 4) = 2 x_{n} (x - x_{n})$ ，令 $y = 0$ ： $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 4}{2 x _{n}} = \frac{x _{n}}{2} + \frac{2}{x _{n}}$ 。

(2) $x_{1} = 4 > 2$ ； $x_{n} > 2$ 时 $x_{n + 1} - 2 = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}} > 0$ ，归纳得恒有 $x_{n} > 2$ 。

$\frac{x _{n + 1} + 2}{x _{n + 1} - 2} = \frac{( x _{n} + 2 ) ^{2}}{( x _{n} - 2 ) ^{2}}$ ，故 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $a_{1} = l g \frac{6}{2} = l g 3$ ， $a_{n} = 2^{n - 1} l g 3$ 。

令 $r_{n} = 1 0^{a_{n}} = 3^{2^{n - 1}}$ ，则 $\frac{x _{n} + 2}{x _{n} - 2} = r_{n}$ ，解出 $x_{n} = \frac{2 ( r _{n} + 1 )}{r _{n} - 1}$ 。

(3) $b_{1} = 2$ ， $b_{n + 1} = \frac{b _{n}^{2}}{2 ( b _{n} + 2 )}$ ， $b_{2} = \frac{4}{2 \times 6} = \frac{1}{2}$ ； $0 < b_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ 时 $\frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{n}}{2 ( b _{n} + 2 )} ⩽ \frac{1/2}{5} = \frac{1}{10} < \frac{1}{4}$ ，归纳得 $n ⩾ 2$ 时 $0 < b_{n} ⩽ \frac{1}{2} (\frac{1}{4})^{n - 2}$ 。

$T_{n} = b_{1} + j = 2 \sum n b_{j} ⩽ 2 + \frac{1}{2} j = 0 \sum n - 2 (\frac{1}{4})^{j} < 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3} < 3$ 。

✅【答案】

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(1) $x_{n + 1} = \frac{x _{n}}{2} + \frac{2}{x _{n}}$ ；(2) $a_{n} = 2^{n - 1} l g 3$ ， $x_{n} = \frac{2 ( 3 ^{2^{n - 1}} + 1 )}{3 ^{2^{n - 1}} - 1}$ ；(3) 证明见解析

✍【详细解析】

Abstract

(1) 曲线在点 $(x_{n}, x_{n}^{2} - 4)$ 处的切线斜率为 $2 x_{n}$ ，切线方程为 $y - (x_{n}^{2} - 4) = 2 x_{n} (x - x_{n})$ ．令 $y = 0$ ，横坐标为 $x_{n + 1}$ ： $- (x_{n}^{2} - 4) = 2 x_{n} (x_{n + 1} - x_{n})$ ，解得 $x_{n + 1} = x_{n} - \frac{x _{n}^{2} - 4}{2 x _{n}} = \frac{x _{n}}{2} + \frac{2}{x _{n}}$ ． (2) 当 $x_{1} = 4$ 时，先有 $x_{1} > 2$ ．若 $x_{n} > 2$ ，则 $x_{n + 1} - 2 = \frac{x _{n}}{2} + \frac{2}{x _{n}} - 2 = \frac{x _{n}^{2} - 4 x _{n} + 4}{2 x _{n}} = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}} > 0$ ，故归纳可知对任意正整数 $n$ ，都有 $x_{n} > 2$ ，从而下式中的对数有意义．又 $x_{n + 1} + 2 = \frac{( x _{n} + 2 ) ^{2}}{2 x _{n}}$ ，　 $x_{n + 1} - 2 = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}}$ ，因此 $\frac{x _{n + 1} + 2}{x _{n + 1} - 2} = (\frac{x _{n} + 2}{x _{n} - 2})^{2}$ ．记 $a_{n} = l g \frac{x _{n} + 2}{x _{n} - 2}$ ，则 $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ，且 $a_{1} = l g \frac{4 + 2}{4 - 2} = l g 3$ ．故 ${a_{n}}$ 是首项为 $l g 3$ 、公比为 2 的等比数列， $a_{n} = 2^{n - 1} l g 3$ ．令 $r_{n} = 1 0^{a_{n}} = 3^{2^{n - 1}}$ ，则 $\frac{x _{n} + 2}{x _{n} - 2} = r_{n}$ ，解出 $x_{n} = \frac{2 ( r _{n} + 1 )}{r _{n} - 1} = \frac{2 ( 3 ^{2^{n - 1}} + 1 )}{3 ^{2^{n - 1}} - 1}$ ． (3) 由第 (1) 问， $b_{n + 1} = x_{n + 1} - 2 = \frac{( x _{n} - 2 ) ^{2}}{2 x _{n}} = \frac{b _{n}^{2}}{2 ( b _{n} + 2 )}$ ，其中 $b_{1} = 2$ ，故 $b_{2} = \frac{4}{12} = \frac{1}{2}$ ．若 $0 < b_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ ，则 $0 < \frac{b _{n + 1}}{b _{n}} = \frac{b _{n}}{2 ( b _{n} + 2 )} ⩽ \frac{1/2}{2 \times 2.5} = \frac{1}{10} < \frac{1}{4}$ ，从而 $0 < b_{n + 1} < \frac{1}{2}$ ．由归纳法，对 $n ⩾ 2$ 均有 $0 < b_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ ，并且 $b_{n} ⩽ \frac{1}{2} (\frac{1}{4})^{n - 2}$ ．当 $n = 1$ 时， $T_{1} = b_{1} = 2 < 3$ ；当 $n ⩾ 2$ 时， $T_{n} = b_{1} + j = 2 \sum n b_{j} ⩽ 2 + \frac{1}{2} j = 0 \sum n - 2 (\frac{1}{4})^{j} < 2 + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{8}{3} < 3$ ．故对任意正整数 $n$ ，均有 $T_{n} < 3$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：切线递推数列放缩

核心方法： $a_{n + 1} = 2 a_{n}$ ， $a_{n} = 2^{n - 1} l g 3$ ， $x_{n} = \frac{2 ( 3 ^{2^{n - 1}} + 1 )}{3 ^{2^{n - 1}} - 1}$ ； $b_{n} ⩽ \frac{1}{2} (\frac{1}{4})^{n - 2}$ ， $T_{n} < \frac{8}{3}$

避坑指南：先归纳证 $x_{n} > 2$ 保证对数有意义； $b_{n + 1}$ 与 $b_{n}$ 的比用 $b_{n} ⩽ \frac{1}{2}$ 放缩为 $\frac{1}{10}$ ，再叠等比求和，两步放缩别混在一步

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：切线生成数列是导数与数列交汇的经典命题模式，2012 年四川卷 22 题再考同型

结论推广：递推 $x_{n + 1} = \frac{x _{n}}{2} + \frac{2}{x _{n}}$ 对应不动点方程 $x = \frac{x}{2} + \frac{2}{x}$ 的解 $x = 2$ ，变换 $\frac{x _{n + 1} + 2}{x _{n + 1} - 2}$ 平方化是标准路径

方法推广：递推数列找”不动点”，构造 $\frac{x _{n + 1} - p}{x _{n + 1} - q}$ 的复合关系化等比；和式放缩用”归纳界定通项 + 等比求和”两段式

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

19.03 数列通项公式求法全攻略

19.05 数列放缩法路径选择与常用模型

类题演练(Links)

2012-四川卷文-22 解-抛物线切线与不等式

2009-四川卷文-22 解-数列递推放缩

2011-四川卷文-22 解-导数方程与数列不等式

2008-四川卷文-21 解-和式递推构造等差

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2007-四川卷文-22 解-切线递推数列放缩

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