2007-大纲卷I理-09 单-充分条件必要条件判定

本题导读

本题考查常用逻辑用语中的充分必要条件判定，以及抽象函数的奇偶性逻辑推演。通过定义法论证充分性，通过构造具体的特殊反例函数来检验必要性。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） $f(x),g(x)$ 是定义在 $\mathbf{R}$ 上的函数， $h(x)=f(x)+g(x)$，则“ $f(x),g(x)$ 均为偶函数”是“ $h(x)$ 为偶函数”的()

A. 充要条件　　　　　　　　　　　　B. 充分而不必要的条件

C. 必要而不充分的条件　　　　　　　D. 既不充分也不必要的条件

🔍【思路分析】

破题导航

1. 充分性判定：

• 设已知前件条件： $f(-x)=f(x)$ 且 $g(-x)=g(x)$。
• 检验后件结论： $h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)$。
• 结论成立，说明前件可推出后件，充分性成立。

2. 必要性判定：

• 设已知后件结论： $h(-x)=h(x)⟹f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)$。

• 检验能否必然推出 $f(x),g(x)$ 为偶函数。

• 构造反例：可以令 $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是非零的奇函数（如 $f(x)=x,g(x)=-x$），此时 $h(x)=x+(-x)=0$ 是一个常数偶函数，但 $f(x),g(x)$ 并非偶函数。

• 存在反例，说明后件推不出前件，必要性不成立。

✅【答案】

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B

✍【详细解析】

Abstract

解：设命题的前件条件为 $p$: “ $f(x),g(x)$ 均为偶函数”， 后件结论为 $q$: “ $h(x)$ 为偶函数”。

• 第一步：检验充分性（即判定 $p⟹q$ 是否成立） 若条件 $p$ 成立，则根据偶函数的定义，对任意 $x\in \mathbf{R}$，恒有： $f(-x)=f(x),g(-x)=g(x)$ 此时，我们去验证复合函数 $h(x)$ 的自变量变号结果： $h(-x)=f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)=h(x)$ 这完全符合偶函数的数学定义，即 $h(x)$ 必然也是一个偶函数。 因此，由 $p$ 能够刚性推出 $q$，充分性成立。

• 第二步：检验必要性（即判定 $q⟹p$ 是否成立） 若结论 $q$ 成立，即 $h(x)=f(x)+g(x)$ 是一个偶函数， 满足 $f(-x)+g(-x)=f(x)+g(x)$。 我们尝试构造一个特殊的反例： 令 $f(x)=x$， $g(x)=-x$。

• 显然， $f(x)$ 和 $g(x)$ 都是定义在 $\mathbf{R}$ 上的奇函数，它们绝对不是偶函数（条件 $p$ 不成立）。
• 然而此时，它们的加总和函数为： $h(x)=f(x)+g(x)=x+(-x)=0$。
• 常数函数 $h(x)=0$ 恒满足 $h(-x)=0=h(x)$，是一个标准的偶函数（结论 $q$ 成立）。 此反例表明，即使 $h(x)$ 是偶函数， $f(x)$ 与 $g(x)$ 也有可能不是偶函数。 因此，由 $q$ 无法推出 $p$，必要性不成立。

综上所述，“ $f(x),g(x)$ 均为偶函数”是“ $h(x)$ 为偶函数”的充分而不必要条件。

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：两个偶函数的和依然是偶函数（充分性）、常数零函数既是奇函数又是偶函数的隐性反例特质。
2. 核心方法：反例否定必要性法。
3. 避坑指南：

• 容易直觉错选 A 选项。记住在抽象函数的代数和运算中，抵消效应会打破必要性。如“两个奇函数的和可以为零（偶函数）”、“一个非奇非偶函数与另一个对应的非奇非偶函数相加也可以拼凑出偶函数”。在考场上遇到此类判定必要性的题目，优先尝试用相反数或奇函数去构造抵消反例。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：函数的奇偶性、充分条件与必要条件的判定是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是函数的奇偶性、充分条件与必要条件的判定的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用奇偶性定义代入法、特例反例构造法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 05.02 函数的四大性质
• 02.01 常用逻辑用语

类题演练 (Links)

• 2011-山东卷理-05 单-函数
• 2012-天津卷理-02 单-充要条件
• 2012-重庆卷理-07 单-函数