2007-大纲卷I理-11 单-三角形面积计算

本题导读

本题考查抛物线的定义及其几何性质的综合应用。核心在于利用抛物线定义将焦半径 $|AF|$ 转化为点 $A$ 到准线 $l$ 的距离 $|AK|$，从而在含 $30^{\circ }$ 角的直角三角形中快速推导出相关线段的长度，求得面积。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷I(理)） 抛物线 $y^2=4x$ 的焦点为 $F$，准线为 $l$，经过 $F$ 且斜率为 $\sqrt{3}$ 的直线与抛物线在 $x$ 轴向上的部分相交于点 $A$，$AK\perp l$，垂足为 $K$，且 $△AKF$ 的面积是()

A. 4　　　　　　　B. $3\sqrt{3}$　　　　　　　C. $4\sqrt{3}$　　　　　　　D. 8

🔍【思路分析】

破题导航

1. 提取抛物线基本量：由 $y^2=4x⟹2p=4⟹p=2$。 焦点为 $F(1,0)$，准线 $l$ 的方程为 $x=-1$。
2. 分析直线的倾斜角关系：直线过焦点 $F$，斜率 $k=\sqrt{3}⟹$ 直线的倾斜角 $\alpha =60^{\circ }$。
3. 利用抛物线定义做几何转换：

• 根据抛物线定义，点 $A$ 到焦点的距离等于点 $A$ 到准线的距离，即 $|AF|=|AK|$。
• 这表明 $△AKF$ 是一个以 $A$ 为顶点的等腰三角形。

4. 通过特殊直角三角形解出边长：

• 延长 $KA$ 交 $y$ 轴于点 $M$，利用倾斜角为 $60^{\circ }$ 建立垂直辅助线，在直角三角形中推导。由于过 $F$ 的直线与 $x$ 轴正方向夹角为 $60^{\circ }$， $AK\parallel x$ 轴，可求出 $△AKF$ 的顶角或底角大小，结合焦点到准线距离 $p=2$ 锁定所有边长。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：由抛物线标准方程 $y^2=4x$ 可知， $2p=4⟹p=2,\frac{p}{2}=1$。 所以，焦点坐标为 $F(1,0)$，准线 $l$ 的方程为 $x=-1$。 焦点到准线 $l$ 的垂直距离为 $p=2$。

因为通过焦点 $F$ 的直线斜率为 $k=\sqrt{3}$，所以该直线的倾斜角为 $\alpha =60^{\circ }$。 根据抛物线几何定义，抛物线上的点 $A$ 到焦点的距离等于它到准线 $l$ 的垂直距离，即： $|AF|=|AK|$ 由于 $AK\perp l$，而准线 $l$ 垂直于 $x$ 轴，因此直线 $AK$ 必然平行于 $x$ 轴。

由此可得，内错角 $\angle KAF$ 与 直线 $AF$ 的倾斜角的补角互补，即： $\angle KAF=180^{\circ }-60^{\circ }=120^{\circ }$ 在等腰三角形 $△AKF$ 中，顶角 $\angle KAF=120^{\circ }$，则两个底角相等： $\angle AKF=\angle AFK=\frac{180^{\circ }-120^{\circ }}{2}=30^{\circ }$

我们过点 $F$ 作 $FH\perp AK$ 于点 $H$。 在直角三角形 $\text{Rt}△KHF$ 中， $\angle HKF=30^{\circ }$。 因为 $AK\parallel x$ 轴且 $FH\perp AK$，所以 $FH$ 严格等于准线 $l$ 与焦点 $F$ 之间的水平距离： $FH=p=2$ 利用 $30^{\circ }$ 直角三角形的三角函数边长关系： $|KF|=\frac{FH}{\sin 30^{\circ }}=\frac{2}{\frac{1}{2}}=4$ $|KH|=\frac{FH}{\tan 30^{\circ }}=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{3}}=2\sqrt{3}$

因为 $△AKF$ 是等腰三角形， 且 $FH\perp AK$，根据三线合一定理， $H$ 为线段 $AK$ 的中点？ 不对。 注意：等腰三角形的顶点是 $A$（因为 $|AF|=|AK|$），垂线是从底角顶点 $F$ 向腰 $AK$ 引入的。 所以， $FH$ 是 $△AKF$ 以 $AK$ 为底边时的高。 在 $\text{Rt}△AHF$ 中， $\angle HAF=180^{\circ }-\angle KAF=180^{\circ }-120^{\circ }=60^{\circ }$。 $|AH|=\frac{FH}{\tan 60^{\circ }}=\frac{2}{\sqrt{3}}=\frac{2\sqrt{3}}{3}$

因此，底边 $AK$ 的长度为： $|AK|=|KH|-|AH|=2\sqrt{3}-\frac{2\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}$

由此可求出 $△AKF$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\times \text{底}\times \text{高}=\frac{1}{2}\times |AK|\times FH=\frac{1}{2}\times \frac{4\sqrt{3}}{3}\times 2=\frac{4\sqrt{3}}{3}$ (注：重新审视计算， 2007年原题选项为 4, $3\sqrt{3}$, $4\sqrt{3}$, 8。 检查发现图形中底边与高对位需要重新核校。)

重新审视几何关系： 过点 $A$ 作 $AD\perp x$ 轴于点 $D$。设点 $A(x_0,y_0)$。 根据抛物线定义， $|AK|=x_0-(-1)=x_0+1$。 因为直线 $AF$ 的倾斜角为 $60^{\circ }$， 且过 $F(1,0)$， 直线方程为 $y=\sqrt{3}(x-1)$。 在 $\text{Rt}△ADF$ 中， $\angle AFD=60^{\circ }$， 故 $|AD|=|AF|\sin 60^{\circ }⟹y_0=(x_0+1)\frac{\sqrt{3}}{2}$。 由于 $A$ 在抛物线 $y^2=4x$ 上， 代入： ${\left[(x_0+1)\frac{\sqrt{3}}{2}\right]}^2=4x_0⟹\frac{3}{4}(x_0^2+2x_0+1)=4x_0⟹3x_0^2+6x_0+3=16x_0$ $3x_0^2-10x_0+3=0⟹(3x_0-1)(x_0-3)=0$ 因为点 $A$ 在 $x$ 轴上方且倾斜角为 $60^{\circ }$， 射线向上走， 随着 $x$ 增大 $y$ 增大。对于过焦点且斜率为正的直线， 与右半部分（ $x$ 轴上方）交点的横坐标必然大于 $F(1,0)$ 处的横坐标。 故 $x_0=3$。 代入得： $|AK|=3+1=4$。 点 $A$ 的纵坐标为 $y_0=\sqrt{4\times 3}=2\sqrt{3}$。

因为 $AK\parallel x$ 轴， 且 $K$ 的横坐标为 $-1$， $A$ 的横坐标为 3， 故线段 $AK$ 为水平线段， 长度为 $4$。 $△AKF$ 的底边取为 $AK$， 则顶点 $F(1,0)$ 到直线 $AK$（即直线 $y=2\sqrt{3}$）的垂直距离（高）就等于点 $A$ 的纵坐标 $y_0=2\sqrt{3}$。 所以， $△AKF$ 的面积为： $S=\frac{1}{2}\times |AK|\times y_0=\frac{1}{2}\times 4\times 2\sqrt{3}=4\sqrt{3}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：过焦点的直线方程与其交点代数解法、抛物线焦半径定义转化、三角形面积坐标表示。
2. 核心方法：直角坐标联立方程法（比几何纯放缩更稳妥、不易在夹角对位上出错）。
3. 避坑指南：

• 纯纯几何法容易在等腰三角形高的位置发生视觉错觉。强烈推荐使用坐标联立方程法：直接写出直线 $y=\sqrt{3}(x-1)$ 并与 $y^2=4x$ 联立， 解出 $x_0=3,y_0=2\sqrt{3}$， 进而底为 4， 高为 $2\sqrt{3}$， 口算直达 $4\sqrt{3}$， 没有任何思维陷阱。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：抛物线的定义（焦半径性质）、直线倾斜角与特殊直角三角形是全国大纲卷I(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是抛物线的定义（焦半径性质）、直线倾斜角与特殊直角三角形的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用数形结合法、抛物线定义转化法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 18.03 抛物线专题全总结
• 16.01 直线的倾斜角与斜率
• 11.04 三角形面积公式

类题演练 (Links)

• 2008-四川卷理-12 单-抛物线
• 2010-湖北卷文-10 单-向量夹角与充分条件
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直