2007-大纲卷II文-04 单-对数比较大小

本题导读

本题考查对数函数的单调性，以及对数与幂的比较大小。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 以下四个数中的最大者是 ()

A. $(\ln 2{)}^2$　　　　　　B. $\ln (\ln 2)$　　　　　　C. $\ln \sqrt{2}$　　　　　　D. $\ln 2$

🔍【思路分析】

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1. $0<\ln 2<1$，故 $\ln (\ln 2)<0$，先淘汰 B。
2. $(\ln 2{)}^2<\ln 2$（$0<x<1$ 时 $x^2<x$）。
3. $\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2<\ln 2$。

✅【答案】

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D

✍【详细解析】

Abstract

由 $2<\mathrm{e}$ 知 $0<\ln 2<1$．

• $\ln (\ln 2)$：真数 $\ln 2\in (0,1)$，故 $\ln (\ln 2)<0$；
• $(\ln 2{)}^2$：$0<x<1$ 时 $x^2<x$，故 $(\ln 2{)}^2<\ln 2$；
• $\ln \sqrt{2}=\frac{1}{2}\ln 2<\ln 2$。 所以四个数中最大的是 $\ln 2$，选 D。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：对数比较大小

核心方法：借 0 与 1 分档，统一比较基准

避坑指南：0<\ln2<1，注意 \ln(\ln2)<0 而非正数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：对数函数单调性比较大小

结论推广：0<x<1 时 x^2<x、\frac12\ln x<\ln x

方法推广：比较大小先定档（负/0/正/大于1）再细比

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 06.01 幂指对函数图象与性质

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷II文-05 单-对数比较大小
• 2008-北京卷文-02 单-对数比较大小