2007-大纲卷II文-16 填-二项式常数项

本题导读

本题考查二项式定理，以及特定项（常数项）。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） $(1+2x^2){\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的展开式中常数项为 $\underline{}$．（用数字作答）

🔍【思路分析】

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1. ${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的通项 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-2k}$。
2. 常数项来自两处：$1\times x^0$ 项与 $2x^2\times x^{-2}$ 项，分别令 $8-2k=0$、$8-2k=-2$。

✅【答案】

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$182$

✍【详细解析】

Abstract

${\left(x+\frac{1}{x}\right)}^8$ 的通项为 $T_{k+1}={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-k}{\left(\frac{1}{x}\right)}^k={\mathrm{C}}_8^k{x}^{8-2k},k=0,1,\cdots ,8.$ 第一部分 $1\times (\cdots {)}^8$ 的常数项：令 $8-2k=0$，$k=4$，得 ${\mathrm{C}}_8^4=70$． 第二部分 $2x^2\times (\cdots {)}^8$ 的常数项：需 $8-2k=-2$，$k=5$，该项为 ${\mathrm{C}}_8^5{x}^{-2}=56x^{-2}$，乘 $2x^2$ 得 $2{\mathrm{C}}_8^5=112$． 故原展开式的常数项为 $70+112=182.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二项式常数项

核心方法：分两部分各取通项，指数配平

避坑指南：常数项来自 x^0 与 x^{-2} 两处，别漏第二部分的 2x^2 系数

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二项式定理通项公式

结论推广：T_{k+1}=\mathrm{C}_n^k a^{n-k}b

方法推广：求特定项令 x 指数等于目标值

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 22.03 二项式定理全总结

类题演练(Links)

• 2008-大纲卷I文-03 单-二项式系数
• 2008-北京卷文-12 填-二项式常数项与系数和