2007-大纲卷II文-19 解-独立重复试验与古典概型

本题导读

本题考查独立重复试验。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(文)） 从某批产品中，有放回地抽取产品二次，每次随机抽取 $1$ 件，假设事件 $A$：“取出的 $2$ 件产品中至多有 $1$ 件是二等品”的概率 $P(A)=0.96$． （1）求从该批产品中任取 $1$ 件是二等品的概率 $p$； （2）若该批产品共有 $100$ 件，从中任意抽取 $2$ 件，求事件 $B$：“取出的 $2$ 件产品中至少有一件二等品”的概率 $P(B)$．

🔍【思路分析】

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1. （1）$A$ 的对立事件是”两件都是二等品”；有放回抽取相互独立，$P(\bar{A})=p^2$。
2. （2）由 $p=0.2$ 知 $100$ 件中二等品 $20$ 件；$B$ 的对立事件是”两件都非二等品”，不放回用组合数作比。

✅【答案】

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（1）$p=0.2$；（2）$P(B)=\frac{179}{495}$

✍【详细解析】

Abstract

（1） 设任取一件是二等品的概率为 $p$．有放回抽取使两次抽取相互独立，事件 $A$ 的对立事件是”取出的 $2$ 件都是二等品”，故 $P(A)=1-p^2=0.96⟹p^2=\mathrm{0.04.}$ 又 $p⩾0$，所以 $p=0.2$． （2） $100$ 件产品中二等品有 $100\times 0.2=20$ 件，非二等品 $80$ 件． 事件 $B$ 的对立事件是”抽到的 $2$ 件均为非二等品”，从 $100$ 件中任取 $2$ 件共有 ${\mathrm{C}}_{100}^2$ 种取法，其中两件都是非二等品的有 ${\mathrm{C}}_{80}^2$ 种，故 $P(B)=1-\frac{{\mathrm{C}}_{80}^2}{{\mathrm{C}}_{100}^2}=1-\frac{80\times 79}{100\times 99}=\frac{9900-6320}{9900}=\frac{179}{495}.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：独立重复试验与古典概型

核心方法：对立事件转化，组合数作比

避坑指南：有放回是独立重复、不放回是古典概型，两种模型勿混淆

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：独立重复试验与对立事件

结论推广：P(至少一个)=1-P(全不)

方法推广：概率求”至少”多用对立事件

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 15.02 随机事件、关系与独立性

类题演练(Links)

• 2008-湖北卷文-14 填-独立事件至少一个
• 2010-江西卷文-09 单-独立重复试验对立事件