2007-安徽卷文-19 解-果蝇飞出位置概率

本题导读

本题考查等可能事件。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 在医学生物学试验中，经常以果蝇作为试验对象，一个关有 $6$ 只果蝇的笼子里，不慎混入了两只苍蝇（此时笼内共有 $8$ 只蝇子：$6$ 只果蝇和 $2$ 只苍蝇），只好把笼子打开一个小孔，让蝇子一只一只地往外飞，直到两只苍蝇都飞出，再关闭小孔． （1）求笼内恰好剩下 $1$ 只果蝇的概率； （2）求笼内至少剩下 $5$ 只果蝇的概率．

🔍【思路分析】

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1. 只考虑两只苍蝇在依次飞出顺序中的位置 $i<j$（从 8 个位置选 2 个，等可能 ${\mathrm{C}}_8^2$ 种）。
2. （1）第 $j$ 只飞出的是第二只苍蝇，剩下果蝇数 $=8-j$；恰剩 1 只 $⟺j=7$，$i$ 有 6 种。
3. （2）至少剩 5 只 $⟺8-j⩾5⟺j⩽3$，两只苍蝇都在前 3 个位置，${\mathrm{C}}_3^2$ 种。

✅【答案】

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（1）$\frac{3}{14}$；（2）$\frac{3}{28}$

✍【详细解析】

Abstract

只考虑两只苍蝇在依次飞出顺序中的位置．这两个位置从 $8$ 个位置中任取，所有可能情形共有 ${\mathrm{C}}_8^2$ 种，且等可能． （1）设两只苍蝇的位置为 $i<j$，则第 $j$ 只飞出的是第二只苍蝇，此时笼内剩下的果蝇数为 $8-j$．恰好剩下 $1$ 只果蝇等价于 $j=7$，有 $6$ 种选择 $i$，所以所求概率为 $\frac{6}{{\mathrm{C}}_8^2}=\frac{6}{28}=\frac{3}{14}.$ （2）笼内至少剩下 $5$ 只果蝇等价于 $8-j⩾5$，即 $j⩽3$．这等价于两只苍蝇的位置都在前 $3$ 个位置中，共有 ${\mathrm{C}}_3^2$ 种情形，所以所求概率为 $\frac{{\mathrm{C}}_3^2}{{\mathrm{C}}_8^2}=\frac{3}{28}.$ （方法点睛：6 只果蝇彼此无差别，问题只由”两只苍蝇飞出的位置对”决定——降维到 ${\mathrm{C}}_8^2=28$ 种等可能情形；不必排列 $8!$。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：果蝇飞出位置概率

核心方法：只盯特殊个体的位置：两只苍蝇在飞出序列中的位置对 ${\mathrm{C}}_8^2$ 种等可能

避坑指南：“恰好剩 1 只果蝇”对应第二只苍蝇第 7 个飞出（$j=7$）；$i$ 的 6 种别漏

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：概率应用题以”只盯特殊个体”降维，医学试验背景公平

结论推广：$n$ 只普通 + $k$ 只特殊个体：只看 $k$ 个特殊个体在飞出序列中的位置组合

方法推广：升级：至少/至多问题的补集转化（本题 (2) 也可 $1-P(\text{剩}4\text{只以下})$）

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-19 解-独立重复试验与古典概型
• 2007-天津卷文-18 解-独立与互斥事件
• 2011-上海卷文-13 填-生日对立事件概率
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