2007-大纲卷II理-07 单-空间直角坐标系方向向量

本题导读

本题考查正三棱柱中线面角的正弦值求解。可以通过传统的立体几何投影找到交点和垂足直接求解，也可以通过建立空间直角坐标系利用法向量实现标准化量化求解。

📌【题干】

Question

（2007年大纲卷II(理)） 已知正三棱柱 $ABC-A_1{B}_1{C}_1$ 的侧棱长与底面边长相等，则 $A{B}_1$ 与侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成角的正弦等于()

A. $\frac{\sqrt{6}}{4}$　　　　　　B. $\frac{\sqrt{10}}{4}$　　　　　　C. $\frac{\sqrt{2}}{2}$　　　　　　D. $\frac{\sqrt{3}}{2}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 锁定投影空间位置（几何法破局）：

• 正三棱柱的侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 是垂直于底面的。
• 要找 $B_1$ 在侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 上的投影。过 $B_1$ 在上底面正三角形 $A_1{B}_1{C}_1$ 内作 $B_{1}D\perp A_1{C}_1$ 于点 $D$。
• 由于侧棱垂直底面，易证 $B_{1}D\perp$ 侧面 $AC{C}_1{A}_1$。因此 $D$ 即为 $B_1$ 在该面上的垂足，连接 $AD$，则 $\angle B_{1}AD$ 就是直线 $A{B}_1$ 与侧面所成的线面角。

2. 计算对应线段长度：

• 设侧棱长与底面边长均为 1。
• 在 $\text{Rt}△A_1{B}_1{C}_1$ 中， $B_{1}D$ 是边长为 1 的正三角形的高 $⟹B_{1}D=\frac{\sqrt{3}}{2}$。
• 在侧面内，利用勾股定理求出斜线段 $A{B}_1=\sqrt{A{A}_1^2+A_1{B}_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$。

3. 求取线面角正弦值：在直角三角形 $\text{Rt}△AD{B}_1$ 中， $\sin \theta =\frac{B_{1}D}{A{B}_1}$ 直接出解。

✅【答案】

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A

✍【详细解析】

Abstract

解：本题采用几何垂直投影法进行快速推导： 设该正三棱柱的底面边长与侧棱长均相等，不妨设其长为 1。

在上底面正三角形 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，过顶点 $B_1$ 作 $B_{1}D\perp A_1{C}_1$ 于点 $D$。 因为在正三棱柱中，侧面 $AC{C}_1{A}_1\perp$ 上底面 $A_1{B}_1{C}_1$，两面交线为 $A_1{C}_1$，且 $B_{1}D\subset$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1$，$B_{1}D\perp A_1{C}_1$， 根据面面垂直的性质定理，可得： $B_{1}D\perp \text{平面 }AC{C}_1{A}_1$

连接 $AD$。由上述垂直关系可知，线段 $AD$ 即为斜线 $A{B}_1$ 在侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 上的正投影。 因此，直线 $A{B}_1$ 与侧面 $AC{C}_1{A}_1$ 所成的线面角就是 $\angle B_{1}AD$。

在边长为 1 的正三角形 $△A_1{B}_1{C}_1$ 中，高 $B_{1}D$ 的长度为： $B_{1}D=1\times \sin 60^{\circ }=\frac{\sqrt{3}}{2}$

在直角梯形/矩形侧面中，由于侧棱 $A{A}_1\perp A_1{B}_1$，在 $\text{Rt}△A{A}_1{B}_1$ 中利用勾股定理求出斜线段长： $A{B}_1=\sqrt{A{A}_1^2+A_1{B}_1^2}=\sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}$

因为 $B_{1}D\perp$ 平面 $AC{C}_1{A}_1$，而 $AD\subset$ 该平面，所以 $△AD{B}_1$ 是以 $D$ 为直角顶点的直角三角形。 根据直角三角形三角函数定义，线面角 $\angle B_{1}AD$ 的正弦值为： $\sin \angle B_{1}AD=\frac{\text{对边}}{\text{斜边}}=\frac{B_{1}D}{A{B}_1}=\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$

故选：A。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线面角的空间几何定义（斜线与其面内正投影直线的夹角）、面面垂直性质定理找面内垂足。
2. 核心方法：几何射影法。
3. 避坑指南：

• 求解线面角时，最核心的命门在于精确找到“点到面的垂足”。本题中千万不能误以为 $B_1$ 在侧面的投影是顶点 $C_1$ 或 $A_1$。利用正三角形的高建立垂直面投影，能在最短时间内将空间立体问题扁平化为平面直角三角形求比值。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正三棱柱的几何特征、直线与平面所成的角（线面角）是大纲卷II(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正三棱柱的几何特征、直线与平面所成的角（线面角）的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用空间向量坐标法、几何垂直投影法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.01 空间几何体的结构、表面积与体积
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2009-湖北卷文-06 单-三棱柱的高
• 2013-浙江卷理-10 单-线面垂直
• 2008-四川卷文-10 单-线面角共点直线计数