2007-天津卷理-01 单-复数代数形式除法运算

本题导读

本题主要考查虚数单位 $\mathrm{i}$ 的幂运算性质以及复数代数形式的除法运算，旨在考查基本的运算求解能力。

📌【题干】

Question

（2007年天津卷(理)） $\mathrm{i}$ 是虚数单位，$\frac{2{\mathrm{i}}^3}{1-\mathrm{i}}=$ ()

A. $1+\mathrm{i}$　　　　B. $-1+\mathrm{i}$　　　　C. $1-\mathrm{i}$　　　　D. $-1-\mathrm{i}$

🔍【思路分析】

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1. 首先利用 $\mathrm{i}$ 的幂运算性质将分子中的 ${\mathrm{i}}^3$ 化简为 $-\mathrm{i}$；
2. 再利用分母实数化方法，分子、分母同乘以分母的共轭复数 $1+\mathrm{i}$ 进行除法运算。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解： 因为 ${\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i}$， 所以： $\frac{2{\mathrm{i}}^3}{1-\mathrm{i}}=\frac{-2\mathrm{i}}{1-\mathrm{i}}$ 分子、分母同乘以 $1+\mathrm{i}$ 得： $\frac{-2\mathrm{i}(1+\mathrm{i})}{(1-\mathrm{i})(1+\mathrm{i})}=\frac{-2\mathrm{i}-2{\mathrm{i}}^2}{1-{\mathrm{i}}^2}=\frac{-2\mathrm{i}+2}{1+1}=\frac{2-2\mathrm{i}}{2}=1-\mathrm{i}$ 故选 (C)。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位的周期性（${\mathrm{i}}^1=\mathrm{i},{\mathrm{i}}^2=-1,{\mathrm{i}}^3=-\mathrm{i},{\mathrm{i}}^4=1$）与复数商的运算。
2. 核心方法：共轭复数相乘法，即 $\frac{a+b\mathrm{i}}{c+d\mathrm{i}}=\frac{(a+b\mathrm{i})(c-d\mathrm{i})}{c^2+d^2}$。
3. 避坑指南：运算中注意 ${\mathrm{i}}^2=-1$ 的符号转换，尤其在分子 $-2{\mathrm{i}}^2$ 展开时极易因粗心算成 $-2$。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题属于高考复数板块的常规送分题，源自课本基本运算习题的直接组装。
2. 结论推广：形式如 $\frac{2}{\mathrm{i}-1}$ 或 $\frac{2}{1-\mathrm{i}}$ 的变形常与复数的模、共轭复数等概念结合考查。

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2015-新课标I卷理-01 单-复数运算
• 2021-新高考I卷-02 单-复数运算