2007-安徽卷文-10 单-折叠直二面角球面距离

本题导读

本题考查折叠问题，以及外接球。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(文)） 把边长为 $\sqrt{2}$ 的正方形 $ABCD$ 沿对角线 $AC$ 折成直二面角，折成直二面角后，在 $A$，$B$，$C$，$D$ 四点所在的球面上，$B$ 与 $D$ 两点之间的球面距离为 ()

A. $\frac{\sqrt{2}\pi }{2}$　　　　　　　B. $\pi$　　　　　　　C. $\frac{\pi }{2}$　　　　　　　D. $\frac{\pi }{3}$

🔍【思路分析】

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1. 折叠后 $OB\perp AC$，$OD\perp AC$，且 $OB\perp OD$（直二面角），$OB=OD=1$。
2. 建系：$O$ 原点，$A(-1,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$D(0,0,1)$。
3. 球心到四点等距：验证 $O$ 即球心、半径 $1$。
4. 球面距离 $=R\times \angle BOD=1\times \frac{\pi }{2}$。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

设对角线交点为 $O$．正方形边长 $\sqrt{2}$，对角线 $AC=BD=2$，$OA=OB=OC=OD=1$，且 $BD\perp AC$． 沿 $AC$ 折成直二面角后，$OB\perp AC$、$OD\perp AC$ 保持不变，且 $OB$ 与 $OD$ 所成的角即二面角的平面角 $90°$． 以 $O$ 为原点建系：$A(-1,0,0)$，$C(1,0,0)$，$B(0,1,0)$，$D(0,0,1)$．则 $|OA|=|OB|=|OC|=|OD|=1,$ 即 $O$ 到四点等距，四点所在的球面就是以 $O$ 为球心、$1$ 为半径的球． $\angle BOD=90°$，所以 $B$ 与 $D$ 两点之间的球面距离为大圆弧长 $R\cdot \angle BOD=1\times \frac{\pi }{2}=\frac{\pi }{2},$ 故选 C． （方法点睛：正方形对角线互相垂直平分 + 折成直二面角，恰使四点到对角线交点等距——“折而不乱”，先找不变量。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：折叠直二面角球面距离

核心方法：抓不变量：对角线互相垂直平分，折叠后 $OB\perp OC\perp OD$ 两两垂直

避坑指南：球面距离 = 半径 × 圆心角（劣弧），不是弦长；先验证球心与半径再算角

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：折叠问题考查”不变量”意识，正方形沿对角线折叠是经典模型

结论推广：折叠后 $OB$、$OC$、$OD$ 两两垂直 ⇒ 四点外接球直径为长方体对角线

方法推广：球面距离 = $R\theta$；弦长 = $2R\sin \frac{\theta }{2}$，两公式配合使用

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 13.02 外接球和内切球模型

类题演练(Links)

• 2008-四川卷文-08 单-球截面圆面积比
• 2007-新课标卷文-11 单-球与三棱锥的组合体
• 2008-安徽卷文-17 解-三角化简值域
• 2013-大纲卷文-16 填-球的表面积