2007-安徽卷理-10 单-标准正态分布一般正态分布转化

本题导读

本题考查正态分布的概率计算。核心在于利用正态分布的对称性，以及通过标准化公式 $Z=\frac{\xi -\mu }{\sigma }$ 将一般正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$ 转化为标准正态分布 $N(0,1)$ 进行求解。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 以 $\Phi (x)$ 表示标准正态总体在区间 $(-\infty ,x)$ 内取值的概率，若随机变量 $\xi$ 服从正态分布 $N(\mu ,{\sigma }^2)$，则概率 $P(|\xi -\mu |<\sigma )$ 等于()

A. $\Phi (\mu +\sigma )-\Phi (\mu -\sigma )$　　B. $\Phi (1)-\Phi (-1)$　　C. $\Phi \left(\frac{1-\mu }{\sigma }\right)$　　D. $2\Phi (\mu +\sigma )$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 绝对值不等式化简区间：将目标概率式内部的绝对值不等式进行去绝对值展开： $|\xi -\mu |<\sigma ⟹-\sigma <\xi -\mu <\sigma ⟹\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma$
2. 正态分布标准化代换：

• 已知 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$。根据标准化定理， 新变量 $Z=\frac{\xi -\mu }{\sigma }$ 严格服从标准正态分布 $N(0,1)$。
• 对不等式 $-\sigma <\xi -\mu <\sigma$ 各项同时除以标准差 $\sigma$， 得到 $-1<\frac{\xi -\mu }{\sigma }<1⟹-1<Z<1$。

3. 利用标准正态分布函数表示：根据标准正态分布函数定义， $P(a<Z<b)=\Phi (b)-\Phi (a)$。

✅【答案】

点击查看答案

B

✍【详细解析】

Abstract

解：首先展开目标概率式中的绝对值不等式： $P(|\xi -\mu |<\sigma )=P(-\sigma <\xi -\mu <\sigma )$ 各项同时加上均值 $\mu$， 转化为区间的形式： $P(|\xi -\mu |<\sigma )=P(\mu -\sigma <\xi <\mu +\sigma )$

因为随机变量 $\xi \sim N(\mu ,{\sigma }^2)$， 根据正态分布的标准化公式， 令 $Z=\frac{\xi -\mu }{\sigma }$， 则新随机变量 $Z$ 服从标准正态分布 $N(0,1)$。

我们将概率范围中的不等式各项同时除以正数 $\sigma$（进行标准化变换）： $P(-\sigma <\xi -\mu <\sigma )=P\left(\frac{-\sigma }{\sigma }<\frac{\xi -\mu }{\sigma }<\frac{\sigma }{\sigma }\right)=P(-1<Z<1)$

根据题目定义， $\Phi (x)$ 表示标准正态总体在区间 $(-\infty ,x)$ 内取值的概率，即 $\Phi (x)=P(Z<x)$。 利用连续型随机变量在区间上的概率计算方法： $P(-1<Z<1)=P(Z<1)-P(Z\le -1)=\Phi (1)-\Phi (-1)$

故选：B。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：一般正态分布向标准正态分布的转换公式（减去均值除以标准差）、标准正态分布累积概率函数 $\Phi (x)$ 的概率代数表示。
2. 核心方法：变量标准化法。
3. 避坑指南：

• 容易错选 A 选项。$\Phi (x)$ 在题目中被明确限定为“标准正态总体”的累积函数，其自变量代表的是标准分 $Z$，不能直接把不属于标准总体的变量边界 $\mu \pm \sigma$塞进 $\Phi$ 里面。必须要完成标准化降维后才能套用 $\Phi$ 符号。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：正态分布的图象与性质、标准正态分布与一般正态分布的转化是安徽卷(理)选择题/填空题的常考角度，同型题见下方类题演练。 结论推广：本题落点是正态分布的图象与性质、标准正态分布与一般正态分布的转化的核心结论，解题时先明确其定义与适用条件，再代值计算。 方法推广：采用变量标准化代换法、概率区间对称法，注意先判断题型特征再选择对应方法，避免生搬硬套。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 23.05 正态分布

类题演练 (Links)

• 2008-重庆卷理-05 单-正态分布
• 2013-新课标I卷理-11 单-分段函数
• 2013-新课标II卷理-10 单-导数极值