2007-安徽卷理-17 解-空间直角坐标系向量法

本题导读

本题考查立体几何中线线共面、面面垂直的证明以及二面角的计算。题目给出的六面体上下底面均为正方形且侧棱 $D{D}_1$ 垂直于双底面，提供了天然的两两垂直基底。通过建立空间直角坐标系，可以将全部几何证明与角度求解无损转化为空间向量的代数运算。

📌【题干】

Question

（2007年安徽卷(理)） 如图，在六面体 $ABCD-A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 中，四边形 $ABCD$ 是边长为 2 的正方形，四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 1 的正方形， $D{D}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$， $D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD,D{D}_1=2$.

(1) 求证： $A_1{C}_1$ 与 $AC$ 共面， $B_1{D}_1$ 与 $BD$ 共面；

(2) 求证：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$；

(3) 求二面角 $A-B{B}_1-C$ 的大小. (用反三角函数值表示)

🔍【思路分析】

破题导航

1. 建立空间直角坐标系：因为 $D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$， 且底面 $ABCD$ 为正方形， 说明 $DA,DC,D{D}_1$ 两两垂直。以 $D$ 为坐标原点， 射线 $DA,DC,D{D}_1$ 分别为 $x,y,z$ 轴正方向建立空间直角坐标系。
2. 确定各顶点坐标：根据正方形边长与 $D{D}_1=2$，写出底面各点坐标。对于上底面，由于 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 1 的正方形且 $D{D}_1\perp$ 上底面，利用对称性与投影特征，可精准写出上底面各点坐标。
3. 向量法求解各问：

• 第一问：求出向量 $\overrightarrow{A_1{C}_1}$ 与 $\overrightarrow{AC}$ 的坐标，证明它们方向向量平行（即 $\overrightarrow{A_1{C}_1}=\lambda \overrightarrow{AC}$），线线平行即可证明两直线共面。

• 第二问：分别求出平面 $A_{1}AC{C}_1$ 的法向量 ${\vec{n}}_1$ 和平面 $B_{1}BD{D}_1$ 的法向量 ${\vec{n}}_2$，证明 ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=0$，即可论证面面垂直。

• 第三问：分别求出平面 $AB{B}_1$ 与平面 $CB{B}_1$ 的法向量，利用夹角公式求出二面角平面角的余弦值。

✅【答案】

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以𝐷为原点，以𝐷𝐴，𝐷𝐶，𝐷𝐷1所在直线分别为𝑥，𝑦，𝑧轴建立空间直角坐标系.由题意可取𝐷=(0,0,0),

✍【详细解析】

Abstract

解：因为 $D{D}_1\perp$ 平面 $ABCD$， 四边形 $ABCD$ 是正方形， 所以 $DA\perp DC,D{D}_1\perp DA,D{D}_1\perp DC$。 以 $D$ 为原点， 射线 $DA,DC,D{D}_1$ 方向分别为 $x$ 轴、 $y$ 轴、 $z$ 轴正方向建立空间直角坐标系 $D-xyz$。

由题意可知，下底面各顶点坐标为： $D(0,0,0),A(2,0,0),C(0,2,0),B(2,2,0)$ 因为 $D{D}_1\perp$ 平面 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$， 且四边形 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 是边长为 1 的正方形， 结合空间轴对称位置： $D_1(0,0,2),A_1(1,0,2),C_1(0,1,2),B_1(1,1,2)$

（1）证明：写出直线 $A_1{C}_1$ 与 $AC$ 对应的方向向量坐标： $\overrightarrow{A_1{C}_1}=(0-1,1-0,2-2)=(-1,1,0)$ $\overrightarrow{AC}=(0-2,2-0,0-0)=(-2,2,0)$ 显然， 两个向量存在清晰的线性比例关系： $\overrightarrow{AC}=2\overrightarrow{A_1{C}_1}⟹A_1{C}_1\parallel AC$ 根据几何公理， 两条平行直线可以确定唯一平面， 所以， 直线 $A_1{C}_1$ 与 $AC$ 共面。

同理， 写出直线 $B_1{D}_1$ 与 $BD$ 的方向向量坐标： $\overrightarrow{B_1{D}_1}=(0-1,0-1,2-2)=(-1,-1,0)$ $\overrightarrow{BD}=(0-2,0-2,0-0)=(-2,-2,0)$ 满足 $\overrightarrow{BD}=2\overrightarrow{B_1{D}_1}⟹B_1{D}_1\parallel BD$。 所以， 直线 $B_1{D}_1$ 与 $BD$ 共面。

（2）证明：因为平面 $A_{1}AC{C}_1$ 内包含垂直向量 $\overrightarrow{D{D}_1}$ 方向， 其平面由平行线 $AC\parallel A_1{C}_1$ 延展。 由坐标可得该平面内的一组基底向量为 $\overrightarrow{AC}=(-2,2,0)$ 和 $\overrightarrow{A{A}_1}=(1-2,0-0,2-0)=(-1,0,2)$。 设平面 $A_{1}AC{C}_1$ 的法向量为 ${\vec{n}}_1=(x_1,y_1,z_1)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{AC}=0⟹-2x_1+2y_1=0⟹x_1=y_1\\ {\vec{n}}_1\cdot \overrightarrow{A{A}_1}=0⟹-x_1+2z_1=0⟹x_1=2z_1\end{array}$ 令 $z_1=1$， 则 $x_1=2,y_1=2$。 得到一个法向量： ${\vec{n}}_1=(2,2,1)$

同理，平面 $B_{1}BD{D}_1$ 内包含向量 $\overrightarrow{BD}=(-2,-2,0)$ 和 $\overrightarrow{D{D}_1}=(0,0,2)$。 设平面 $B_{1}BD{D}_1$ 的法向量为 ${\vec{n}}_2=(x_2,y_2,z_2)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{BD}=0⟹-2x_2-2y_2=0⟹x_2=-y_2\\ {\vec{n}}_2\cdot \overrightarrow{D{D}_1}=0⟹2z_2=0⟹z_2=0\end{array}$ 令 $x_2=1$， 则 $y_2=-1,z_2=0$。 得到一个法向量： ${\vec{n}}_2=(1,-1,0)$

计算这两个平面法向量的数量积点积： ${\vec{n}}_1\cdot {\vec{n}}_2=2\times 1+2\times (-1)+1\times 0=2-2+0=0$ 因为两法向量互相垂直（数量积为 0）， 对应的两个平面也必然相互垂直。 所以：平面 $A_{1}AC{C}_1\perp$ 平面 $B_{1}BD{D}_1$。

（3）解：下面求解二面角 $A-B{B}_1-C$ 的大小。

$\overrightarrow{BA}=(2-2,0-2,0-0)=(0,-2,0),\overrightarrow{BC}=(0-2,2-2,0-0)=(-2,0,0)$ $\overrightarrow{B{B}_1}=(1-2,1-2,2-0)=(-1,-1,2)$

• 求解平面 $AB{B}_1$ 的法向量 ${\vec{m}}_1=(x,y,z)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{m}}_1\cdot \overrightarrow{BA}=0⟹-2y=0⟹y=0\\ {\vec{m}}_1\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0⟹-x-y+2z=0⟹x=2z\end{array}$ 令 $z=1$， 则 $x=2,y=0$。 得到： ${\vec{m}}_1=(2,0,1)$。

• 求解平面 $CB{B}_1$ 的法向量 ${\vec{m}}_2=(u,v,w)$： $\{\begin{array}{l}{\vec{m}}_2\cdot \overrightarrow{BC}=0⟹-2u=0⟹u=0\\ {\vec{m}}_2\cdot \overrightarrow{B{B}_1}=0⟹-u-v+2w=0⟹v=2w\end{array}$ 令 $w=1$， 则 $u=0,v=2$。 得到： ${\vec{m}}_2=(0,2,1)$。

计算两个法向量夹角的余弦值： $\cos ⟨{\vec{m}}_1,{\vec{m}}_2⟩=\frac{{\vec{m}}_1\cdot {\vec{m}}_2}{|{\vec{m}}_1|\cdot |{\vec{m}}_2|}=\frac{2\times 0+0\times 2+1\times 1}{\sqrt{2^2+0^2+1^2}\times \sqrt{0^2+2^2+1^2}}=\frac{1}{\sqrt{5}\times \sqrt{5}}=\frac{1}{5}$

由图可知， 该二面角 $A-B{B}_1-C$ 的平面角 $\theta$ 为钝角（法向量指向外侧）。 所以： $\cos \theta =-\frac{1}{5}⟹\theta =\pi -\arccos \frac{1}{5}\left(\text{或 }\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)\right)$

因此， 二面角 $A-B{B}_1-C$ 的大小为 $\arccos \left(-\frac{1}{5}\right)$。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：线线平行的向量判据（坐标成比例）、法向量点积等于0论证面面垂直、二面角钝角与锐角的图形判定。
2. 核心方法：空间向量直角坐标运算法。
3. 避坑指南：

• 确定上底面各点坐标时要极其细心。因为 $A_1{B}_1{C}_1{D}_1$ 边长为 1， 它是依附在以 $D_1$ 为顶点的直角边上的正方形， 故其纵横坐标增量均为 1，千万不要误写成与下底面相同的 2。
• 最终求解二面角大小时，必须结合三维立体图形定性观察其是锐角还是钝角。本题中从两侧

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源：本题考查线线共面的判定与性质、面面垂直的判定定理，是安徽卷(理)解答题的高频命题方向，同型题见下方类题演练。
2. 变式思考：本题的核心步骤（空间向量坐标法、传统几何综合推导法）可迁移到同类问题——若改变题设条件（如更换数值或几何对象），解法框架不变，重在把握「条件→目标」的转化路径。
3. 知识关联：线线共面的判定与性质、面面垂直的判定定理相互关联，解答中综合运用了空间向量坐标法、传统几何综合推导法，建议结合知识锚点中的对应专题系统梳理。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题
• 21.01空间向量及其运算

类题演练 (Links)

• 2008-浙江卷文-20 解-线面平行二面角
• 2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角
• 2010-山东卷文-20 解-面面垂直与体积比