2008-湖南卷文-18 解-四棱锥垂直与二面角

本题导读

$BE=(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0)$ 与 $AB$、$AP$ 点乘均为零；$\cos \angle ABP=\frac{BA\cdot BP}{|BA||BP|}=\frac{1}{2}$，二面角为 $60^{\circ }$.

📌【题干】

Question

（2008年湖南卷(文)） 如图所示，四棱锥 $P-ABCD$ 的底面 $ABCD$ 是边长为 $1$ 的菱形，$\angle BCD=60^{\circ }$，$E$ 是 $CD$ 的中点，$PA\perp$ 底面 $ABCD$，$PA=\sqrt{3}$.

(1)证明：平面 $PBE\perp$ 平面 $PAB$；

(2)求二面角 $A-BE-P$ 的大小.

🔍【思路分析】

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设 $A$ 为原点、$AB$ 为 $x$ 轴建系：菱形中 $\angle BCD=60^{\circ }$ 给出各点坐标；(2)中 $BA\perp BE$、$BP\perp BE$，故二面角的平面角就是 $\angle ABP$.

✅【答案】

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(1)证明见解析；(2)$60^{\circ }$（即 $\frac{\pi }{3}$）

✍【详细解析】

Abstract

建立如下空间直角坐标系，令 $A(0,0,0)$，$B(1,0,0)$，$D\left(\frac{1}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，则 $C\left(\frac{3}{2},\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$. 由 $E$ 是 $CD$ 的中点以及 $PA\perp$ 底面、$PA=\sqrt{3}$，可取 $E\left(1,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$，$P(0,0,\sqrt{3})$. (1)在平面 $PAB$ 内，$\overrightarrow{AB}=(1,0,0)$，$\overrightarrow{AP}=(0,0,\sqrt{3})$，且 $\overrightarrow{BE}=\left(0,\frac{\sqrt{3}}{2},0\right)$. 因为 $\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AB}=0$，$\overrightarrow{BE}\cdot \overrightarrow{AP}=0$，所以 $BE\perp$ 平面 $PAB$. 又因为 $BE\subset$ 平面 $PBE$，所以平面 $PBE\perp$ 平面 $PAB$. (2)平面 $ABE$ 就是底面所在平面. 过棱 $BE$ 上的点 $B$，在平面 $ABE$ 内作 $BA$，在平面 $PBE$ 内作 $BP$. 由 $\overrightarrow{BA}=(-1,0,0)$，$\overrightarrow{BP}=(-1,0,\sqrt{3})$，得 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BE}=0$，$\overrightarrow{BP}\cdot \overrightarrow{BE}=0$，所以二面角 $A-BE-P$ 的平面角为 $\angle ABP$. 又 $|BA|=1$，$|BP|=2$，且 $\overrightarrow{BA}\cdot \overrightarrow{BP}=1$，故 $\cos \angle ABP=\frac{1}{1\times 2}=\frac{1}{2}$. 因此二面角 $A-BE-P$ 的大小为 $\frac{\pi }{3}=60^{\circ }$.

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：面面垂直的判定与二面角

核心方法：线面垂直 $\Rightarrow$ 面面垂直；二面角的平面角先确认两条射线都与棱垂直

避坑指南：$BE\perp$ 平面 $PAB$ 的依据是与平面内两条相交直线 $AB$、$AP$ 都垂直；二面角 $A-BE-P$ 的平面角是 $\angle ABP$ 不是 $\angle APB$，$|BP|=2$ 别算错

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：立体几何解答题常规结构：面面垂直证明 + 二面角计算（向量法示范）

结论推广：线面垂直是面面垂直的踏板；棱的公垂线方向的两条射线自然构成二面角的平面角

方法推广：建系前先由菱形角度定坐标；二面角的平面角识别用”两条射线都与棱垂直”验证，别默认取顶点处

🔗【关联脉络】

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知识锚点 (Nodes)

• 13.03 空间点、线、面位置关系
• 13.05 几何法求空间角专题

类题演练 (Links)

• 2009-湖南卷文-18 解-三棱柱线面角
• 2010-湖南卷文-18 解-异面角与面面垂直
• 2012-湖南卷文-19 解-四棱锥体积与线面角
• 2014-湖南卷文-18 解-二面角