2007-山东卷文-15 填-二次不等式区间恒成立

本题导读

本题考查二次不等式恒成立。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 当 $x\in (1,2)$ 时，不等式 $x^2+mx+4<0$ 恒成立，则 $m$ 的取值范围是　　.

🔍【思路分析】

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1. 设 $g(x)=x^2+mx+4$，开口向上。
2. $g$ 在 $[1,2]$ 上的最小值在端点或顶点；$g$ 在 $(1,2)$ 内恒负等价于 $g(1)⩽0$ 且 $g(2)⩽0$（开区间端点用 $⩽$）。
3. $g(1)=5+m⩽0\Rightarrow m⩽-5$；$g(2)=8+2m⩽0\Rightarrow m⩽-4$。
4. 取交：$m⩽-5$。

✅【答案】

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m\leqslant-5

✍【详细解析】

Abstract

设 $g(x)=x^2+mx+4$，图象开口向上． $g(x)<0$ 在 $(1,2)$ 内恒成立，等价于 $g(1)⩽0$ 且 $g(2)⩽0$（若 $g(1)>0$，由连续性在 $1$ 右侧附近 $g>0$，矛盾；$g(2)$ 同理）． $g(1)=1+m+4=5+m⩽0\Rightarrow m⩽-5$； $g(2)=4+2m+4=8+2m⩽0\Rightarrow m⩽-4$． 取交集得 $m⩽-5$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：二次不等式区间恒成立

核心方法：开口向上在开区间恒负 $⟺g(1)⩽0$ 且 $g(2)⩽0$

避坑指南：开区间端点取 $⩽$（$g(1)=0$ 时不影响区间内部恒负）；区间内恒负也可用根的分布

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：二次不等式开区间恒成立，恒成立问题基础型

结论推广：开口向上 + 区间恒负 $⟺$ 两端点 $⩽0$

方法推广：恒成立参数问题三法：端点值法、判别式法、分离参数法

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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