2007-山东卷文-18 解-等比数列等差中项与对数和

本题导读

本题考查等比数列。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设 $\{a_n\}$ 是公比大于 $1$ 的等比数列，$S_n$ 为数列 $\{a_n\}$ 的前 $n$ 项和．已知 $S_3=7$，且 $a_1+3$，$3a_2$，$a_3+4$ 构成等差数列． （1）求数列 $\{a_n\}$ 的通项； （2）令 $b_n=\ln a_{3n+1}$，$n=1,2,\cdots$，求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $T_n$．

🔍【思路分析】

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（1）等差中项：$2\cdot 3a_2=(a_1+3)+(a_3+4)$；结合 $a_1(1+q+q^2)=7$ 解出 $a_2=2$；再由 $a_1{a}_3=a_2^2=4$、$a_1+a_3=5$ 得 $a_1=1,a_3=4$，$q=2$。 （2）$a_{3n+1}=2^{3n}=(2^3{)}^n=8^n$，$b_n=\ln 8^n=3n\ln 2$，等差数列求和。

✅【答案】

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（1）$a_n=2^{n-1}$；（2）$T_n=\frac{3n(n+1)}{2}\ln 2$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公比为 $q$（$q>1$），则 $a_1(1+q+q^2)=S_3=7$． 由三个数构成等差数列，得 $2\cdot 3a_2=(a_1+3)+(a_3+4)$，即 $6a_{1}q=a_1(1+q^2)+7$． 由 $a_1(1+q^2)=7-a_{1}q$，代入得 $6a_{1}q=14-a_{1}q$，所以 $a_{1}q=2$，即 $a_2=2$． 又 $a_1+a_3=S_3-a_2=5$，且 $a_1{a}_3=a_2^2=4$，因此 $a_1,a_3$ 是方程 $t^2-5t+4=0$ 的两根，即 $\{a_1,a_3\}=\{1,4\}$． 因为 $q>1$，只能取 $a_1=1$，$a_3=4$，从而 $q=2$．故 $a_n=2^{n-1}$． （2）$a_{3n+1}=2^{3n}={\left(2^3\right)}^n=8^n$，所以 $b_n=\ln 8^n=3n\ln 2$． $\{b_n\}$ 是首项 $3\ln 2$、公差 $3\ln 2$ 的等差数列，故 $T_n={\sum }_{k=1}^n{b}_k=\frac{n(3\ln 2+3n\ln 2)}{2}=\frac{3n(n+1)}{2}\ln 2.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等比数列等差中项与对数和

核心方法：等差中项列 $6a_{1}q=a_1(1+q^2)+7$；由 $a_1{a}_3=a_2^2$ 与和定根

避坑指南：$q>1$ 定 $a_1,a_3$ 取舍；$b_n=\ln a_{3n+1}$ 下标是 $3n+1$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等比数列基本量与对数求和，数列综合题

结论推广：$a_{3n+1}=8^n$ 后 $b_n$ 是等差数列，$\ln$ 保住了等差结构

方法推广：数列题先定基本量；$\ln (q^n)=n\ln q$ 化指为等差

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.02 等比数列全总结
• 19.04 数列求和核心方法与裂项模型

类题演练(Links)

• 2007-大纲卷II文-17 解-等比数列通项与分类讨论
• 2009-山东卷文-20 解-等比数列求和
• 2008-辽宁卷文-20 解-等比数列商与求和
• 2009-新课标卷文-15 填-等比数列求和