2007-山东卷文-21 解-含参极值点存在性讨论

本题导读

本题考查导数与极值。

📌【题干】

Question

（2007年山东卷(文)） 设函数 $f(x)=a{x}^2+b\ln x$，其中 $ab\ne 0$．证明：当 $ab>0$ 时，函数 $f(x)$ 没有极值点；当 $ab<0$ 时，函数 $f(x)$ 有且只有一个极值点，并求出极值．

🔍【思路分析】

破题导航

1. 定义域 $x>0$，$f^{\prime }(x)=2ax+\frac{b}{x}=\frac{2a{x}^2+b}{x}$；$x>0$ 时 $f^{\prime }(x)=0⟺2a{x}^2+b=0$。
2. $ab>0$：$a,b$ 同号，$2a{x}^2+b$ 与 $a$ 同号恒不为 0，$f^{\prime }$ 恒正或恒负，无极值点。
3. $ab<0$：$2a{x}^2+b=0$ 有唯一正根 $x_0=\sqrt{-\frac{b}{2a}}$；$f^{\prime \prime }(x_0)=4a\ne 0$，是极值点。
4. 极值 $f(x_0)=a{x}_0^2+b\ln x_0=-\frac{b}{2}+b\ln \sqrt{-\frac{b}{2a}}$。

✅【答案】

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$ab>0$ 时无极值点；$ab<0$ 时唯一极值点 $x_0=\sqrt{-\frac{b}{2a}}$，极值 $f(x_0)=\frac{b}{2}\left[\ln \left(-\frac{b}{2a}\right)-1\right]$

✍【详细解析】

Abstract

定义域为 $x>0$，且 $f^{\prime }(x)=2ax+\frac{b}{x}=\frac{2a{x}^2+b}{x}.$ 当 $ab>0$ 时，$a$ 与 $b$ 同号，对任意 $x>0$，$2a{x}^2+b$ 与 $a$ 同号恒不为零，进而 $f^{\prime }(x)$ 恒不为零且不变号，$f$ 在 $(0,+\infty )$ 上单调，函数没有极值点． 当 $ab<0$ 时，方程 $f^{\prime }(x)=0$ 等价于 $2a{x}^2+b=0$，在定义域内有且只有一个解 $x_0=\sqrt{-\frac{b}{2a}}$． 又 $f^{\prime \prime }(x)=2a-\frac{b}{x^2}$，$f^{\prime \prime }(x_0)=2a-\frac{b}{-\frac{b}{2a}}=2a+2a=4a\ne 0$， 所以 $x_0$ 是唯一的极值点：当 $a>0$（此时 $b<0$）时 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 为极小值点，当 $a<0$ 时为极大值点． 极值为 $f(x_0)=a\cdot \left(-\frac{b}{2a}\right)+b\ln \sqrt{-\frac{b}{2a}}=-\frac{b}{2}+\frac{b}{2}\ln \left(-\frac{b}{2a}\right)=\frac{b}{2}\left[\ln \left(-\frac{b}{2a}\right)-1\right].$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：含参极值点存在性讨论

核心方法：$f^{\prime }=0$ 化为 $2a{x}^2+b=0$ 只看正根个数；$f^{\prime \prime }(x_0)=4a$ 定极值

避坑指南：$ab>0$ 时分子恒同号无零点（不是”无正根”那么简单）；极值代入含 $\ln$ 要用 $x_0^2=-\frac{b}{2a}$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a{x}^2+b\ln x$ 型极值点存在性，导数证明题（对数 + 二次的核心模型）

结论推广：$ab$ 符号决定 $2a{x}^2+b$ 的正根个数；极值显式表出

方法推广：含参极值讨论：$f^{\prime }=0$ 化二次方程 → 按参数符号分正根数 → $f^{\prime \prime }$ 定性质

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 20.03 导数研究单调性与极值最值

类题演练(Links)

• 2008-山东卷文-21 解-三次型函数极值与大小比较
• 2008-广东卷文-09 单-导数极值点定参
• 2007-大纲卷II文-22 解-三次函数极值与参数范围
• 2007-大纲卷I文-20 解-导数极值与恒成立