2007-广东卷文-20 解-牛顿迭代数列与对数等比

本题导读

本题考查递推数列。

📌【题干】

Question

（2007年广东卷(文)） 已知函数 $f(x)=x^2+x-1$，$\alpha$，$\beta$ 是方程 $f(x)=0$ 的两个根（$\alpha >\beta$），$f^{\prime }(x)$ 是 $f(x)$ 的导数，设 $a_1=1$，$a_{n+1}=a_n-\frac{f(a_n)}{f^{\prime }(a_n)}$（$n=1,2,\cdots$）． （1）求 $\alpha$，$\beta$ 的值； （2）已知对任意的正整数 $n$，都有 $a_n>\alpha$，记 $b_n=\ln \frac{a_n-\beta }{a_n-\alpha }$（$n=1,2,\cdots$），求数列 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和 $S_n$．

🔍【思路分析】

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1. (1) 求根公式直接解 $x^2+x-1=0$。
2. (2) 先化简递推：$a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2+a_n-1}{2a_n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n+1}$。
3. 关键恒等式：${\alpha }^2+\alpha -1=0\Rightarrow 1-\alpha ={\alpha }^2$；同理 $1-\beta ={\beta }^2$。
4. $a_{n+1}-\alpha =\frac{a_n^2+1-\alpha (2a_n+1)}{2a_n+1}=\frac{a_n^2-2\alpha a_n+(1-\alpha )}{2a_n+1}=\frac{(a_n-\alpha {)}^2}{2a_n+1}$；同理 $a_{n+1}-\beta =\frac{(a_n-\beta {)}^2}{2a_n+1}$。
5. 相除：$\frac{a_{n+1}-\beta }{a_{n+1}-\alpha }={\left(\frac{a_n-\beta }{a_n-\alpha }\right)}^2$，取对数得 $b_{n+1}=2b_n$。
6. $b_1=\ln \frac{1-\beta }{1-\alpha }=\ln \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$，$\{b_n\}$ 是首项 $b_1$、公比 2 的等比数列，$S_n=(2^n-1)b_1$。

✅【答案】

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（1）$\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$；（2）$S_n=(2^n-1)\ln \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$

✍【详细解析】

Abstract

（1）解方程 $x^2+x-1=0$，由求根公式得 $\alpha =\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$，$\beta =\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$． （2）$f^{\prime }(x)=2x+1$，递推式化为 $a_{n+1}=a_n-\frac{a_n^2+a_n-1}{2a_n+1}=\frac{a_n(2a_n+1)-(a_n^2+a_n-1)}{2a_n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n+1}$． 由 ${\alpha }^2+\alpha -1=0$ 得 $1-\alpha ={\alpha }^2$，于是 $a_{n+1}-\alpha =\frac{a_n^2+1-\alpha (2a_n+1)}{2a_n+1}=\frac{a_n^2-2\alpha a_n+{\alpha }^2}{2a_n+1}=\frac{(a_n-\alpha {)}^2}{2a_n+1}$． 同理，由 $1-\beta ={\beta }^2$ 得 $a_{n+1}-\beta =\frac{(a_n-\beta {)}^2}{2a_n+1}$． 因 $a_n>\alpha >\beta$，分子分母均为正，两式相除得 $\frac{a_{n+1}-\beta }{a_{n+1}-\alpha }={\left(\frac{a_n-\beta }{a_n-\alpha }\right)}^2$， 取对数即 $b_{n+1}=2b_n$． 又 $b_1=\ln \frac{1-\beta }{1-\alpha }=\ln \frac{(3+\sqrt{5})/2}{(3-\sqrt{5})/2}=\ln \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$， 故 $\{b_n\}$ 是首项为 $\ln \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$、公比为 2 的等比数列，其前 $n$ 项和 $S_n=b_1(1+2+\cdots +2^{n-1})=(2^n-1)\ln \frac{3+\sqrt{5}}{3-\sqrt{5}}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：牛顿迭代数列与对数等比

核心方法：递推化简 $a_{n+1}=\frac{a_n^2+1}{2a_n+1}$；借 $1-\alpha ={\alpha }^2$ 配方得平方比例，取对数成等比

避坑指南：配方核心是根满足的恒等式 $1-\alpha ={\alpha }^2$；$b_n$ 是对数差不是差的对数，相除后取对数才出现 $2b_n$

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：由导数构造递推（牛顿迭代格式）并配对数成等比，是数列与导数交汇的压轴设计，2011 广东理 20 同族

结论推广：递推式先通分化简，再借根的恒等式 $1-\alpha ={\alpha }^2$ 配方成平方比例，取对数线性化

方法推广：复杂递推证等比：定向凑 $\frac{u_{n+1}}{u_n}=q$，对数、倒数、平移都是常用线性化手段

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 19.03 数列通项公式求法全攻略
• 19.09 函数迭代与不动点问题

类题演练(Links)

• 2011-广东卷文-20 解-数列递推与均值
• 2009-广东卷文-20 解-数列递推裂项
• 2015-广东卷文-19 解-数列递推
• 2010-广东卷文-20 解-递推函数最值