2007-新课标卷文-24 解-绝对值不等式与分段函数最值

本题导读

本题考查绝对值不等式的解法。

📌【题干】

Question

（2007年新课标卷(文)） 设函数 $f(x)=|2x+1|-|x-4|$． （1）解不等式 $f(x)>2$； （2）求函数 $y=f(x)$ 的最小值．

🔍【思路分析】

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1. 零点 $-\frac{1}{2}$ 与 $4$ 分三段：$f(x)=-x-5$（$x<-\frac{1}{2}$）；$3x-3$（$-\frac{1}{2}⩽x<4$）；$x+5$（$x⩾4$）。
2. （1）逐段解不等式，注意各段解集与段范围的交集。
3. （2）三段中第一段递减、后两段递增，最小值在分点 $x=-\frac{1}{2}$ 处。

✅【答案】

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（1）$\left(-\infty ,-7\right)\cup \left(\frac{5}{3},+\infty \right)$；（2）最小值为 $-\frac{9}{2}$

✍【详细解析】

Abstract

$f(x)$ 的零点分段： $f(x)=\{\begin{array}{ll}-x-5,& x<-\frac{1}{2},\\ 3x-3,& -\frac{1}{2}⩽x<4,\\ x+5,& x⩾4.\end{array}$ （1）当 $x<-\frac{1}{2}$ 时，$-x-5>2⟺x<-7$，解集 $(-\infty ,-7)$； 当 $-\frac{1}{2}⩽x<4$ 时，$3x-3>2⟺x>\frac{5}{3}$，解集 $\left(\frac{5}{3},4\right)$； 当 $x⩾4$ 时，$x+5>2$ 恒成立，解集 $[4,+\infty )$． 合并得 $f(x)>2$ 的解集为 $\left(-\infty ,-7\right)\cup \left(\frac{5}{3},+\infty \right)$． （2）第一段 $-x-5$ 单调递减，后两段单调递增，且 $f(x)$ 在分点处连续，故最小值在 $x=-\frac{1}{2}$ 处取得： $f\left(-\frac{1}{2}\right)=3\times \left(-\frac{1}{2}\right)-3=-\frac{9}{2}.$ 所以 $y=f(x)$ 的最小值为 $-\frac{9}{2}$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：绝对值不等式与分段函数最值

核心方法：零点分段去绝对值 + 逐段求解合并

避坑指南：各段解集必须与段范围取交集再合并；最值在分点处取得，需说明各段单调性。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：绝对值函数的零点分段是选修 4-5 的通法。

结论推广：$f(x)=|ax+b|-|cx+d|$ 的图象是折线，最值在分点或无穷远处。

方法推广：分段列表、图象辅助、单调性说明三步走。

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

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类题演练(Links)

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