2007-江苏卷-12 填-分类计数选修方案

本题导读

本题考查排列组合的分类计数。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷） 某校开设 $9$ 门课程供学生选修，其中 $A$，$B$，$C$ 三门由于上课时间相同，学校规定，每位同学选修 $4$ 门，共有 $\underline{}$种不同的选修方案.（用数值作答）

🔍【思路分析】

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1. $A,B,C$ 时间相同 → 至多选其中一门。
2. 分类：不选冲突课程，从其余 6 门选 4 门；恰选冲突课程之一，再从其余 6 门选 3 门。
3. 相加。

✅【答案】

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$75$

✍【详细解析】

Abstract

由于课程 $A$，$B$，$C$ 上课时间相同，每位同学至多选其中一门．分两类计数：不选 $A,B,C$ 中的课程时，从其余 $6$ 门课程中选 $4$ 门，有 ${\mathrm{C}}_6^4$ 种；恰选其中一门时，先选出这门课程，再从其余 $6$ 门中选 $3$ 门，有 ${\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_6^3$ 种．因此方案总数为 ${\mathrm{C}}_6^4+{\mathrm{C}}_3^1{\mathrm{C}}_6^3=15+3\times 20=75.$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分类计数选修方案

核心方法：按”选冲突课程与否”分两类

避坑指南：A、B、C 时间相同 → 至多选一门；两类是”一门不选”与”恰选一门”，别漏”一门不选”也别重算”选两门”

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：教材”计数原理”

结论推广：互斥类分别计数再相加（加法原理）

方法推广：带”互斥/时间冲突”限制的计数：先确定每类至多选几个，再按选取个数分类

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 22.01 计数原理、排列与组合

类题演练(Links)

• 2010-四川卷文-09 单-排列容斥计数
• 2010-安徽卷文-10 单-古典概型正方形连线
• 2010-北京卷文-03 单-古典概型