2007-江苏卷-20 解-等差等比数列综合证明

本题导读

本题考查等差数列与等比数列的综合。

📌【题干】

Question

（2007年江苏卷）已知 ${a_{n}}$ 是等差数列， ${b_{n}}$ 是公比为 $q$ 的等比数列， $a_{1} = b_{1}$ ， $a_{2} = b_{2} \neq = a_{1}$ ，记 $S_{n}$ 为数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和. （1）若 $b_{k} = a_{m}$ （ $m$ ， $k$ 是大于 $2$ 正整数），求证： $S_{k - 1} = (m - 1) a_{1}$ ；（2）若 $b_{3} = a_{i}$ （ $i$ 是某一正整数），求证： $q$ 是整数，且数列 ${b_{n}}$ 中每一项都是数列 ${a_{n}}$ 中的项；（3）是否存在这样的正数 $q$ ，使等比数列 ${b_{n}}$ 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 $q$ 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由.

🔍【思路分析】

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设 $a_{1} = b_{1} = u$ ，则 $a_{n} = u [1 + (n - 1) (q - 1)]$ ， $b_{n} = u q^{n - 1}$ 。

(1) 由 $b_{k} = a_{m}$ 得 $q^{k - 1} - 1 = (m - 1) (q - 1)$ ，代入等比求和公式。

(2) 由 $b_{3} = a_{i}$ 得 $(q - 1) (q - i + 2) = 0$ ； $q \neq = 1$ 故 $q = i - 2$ 为整数；再对 $q ⩾ 2$ 、 $q = 0$ 、 $q = - 1$ 分别说明每一项都是 ${a_{n}}$ 的项。

(3) 找 $1 + q^{3} = 2 q$ 的正根： $q = \frac{5 - 1}{2}$ 满足 $q^{2} = 1 - q$ 。

✅【答案】

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(1) 见解析；(2) 见解析；(3) 存在，例如 $q = \frac{5 - 1}{2}$ ，此时 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{4}$ 成等差数列

✍【详细解析】

Abstract

设 $a_{1} = b_{1} = u$ ．由 $a_{2} = b_{2} = u q \neq = u$ ，得 $u \neq = 0$ ， $q \neq = 1$ ．等差数列的公差为 $a_{2} - a_{1} = u (q - 1)$ ，所以对任意正整数 $n$ ， $a_{n} = u [1 + (n - 1) (q - 1)], b_{n} = u q^{n - 1} .$ （1）由 $b_{k} = a_{m}$ ，得 $u q^{k - 1} = u [1 + (m - 1) (q - 1)]$ ．除以 $u$ 后， $q^{k - 1} - 1 = (m - 1) (q - 1)$ ．因而 $S_{k - 1} = u (1 + q + \dots + q^{k - 2}) = \frac{u ( q ^{k - 1} - 1 )}{q - 1} = (m - 1) u = (m - 1) a_{1} .$ （2）由 $b_{3} = a_{i}$ ，得 $u q^{2} = u [1 + (i - 1) (q - 1)]$ ．除以 $u$ 并整理，得到 $q^{2} - (i - 1) q + (i - 2) = 0, 即 (q - 1) (q - i + 2) = 0.$ 因 $q \neq = 1$ ，所以 $q = i - 2$ ，从而 $q$ 是整数，且 $q$ 只能是 $- 1$ ， $0$ 或不小于 $2$ 的整数．当 $q ⩾ 2$ 时，对 $n ⩾ 2$ ，令 $j_{n} = 1 + \frac{q ^{n - 1} - 1}{q - 1} = 1 + 1 + q + \dots + q^{n - 2},$ 则 $j_{n}$ 是正整数，且 $a_{j_{n}} = u q^{n - 1} = b_{n}$ ．当 $q = 0$ 时， $b_{1} = a_{1}$ ，且 $b_{n} = 0 = a_{2}$ （ $n ⩾ 2$ ）；当 $q = - 1$ 时，奇数项 $b_{n} = u = a_{1}$ ，偶数项 $b_{n} = - u = a_{2}$ ．因此数列 ${b_{n}}$ 中每一项都是数列 ${a_{n}}$ 中的项．（3）存在这样的正数 $q$ ．取 $q = \frac{5 - 1}{2} > 0.$ 则 $q^{2} = 1 - q$ ，从而 $q^{3} = 2 q - 1$ ，所以 $1 + q^{3} = 2 q$ ．因此 $b_{1} + b_{4} = u + u q^{3} = 2 u q = 2 b_{2},$ 即 $b_{1}$ ， $b_{2}$ ， $b_{4}$ 三项成等差数列．且 $q \neq = 1$ ，满足题设 $a_{2} = b_{2} \neq = a_{1} = b_{1}$ ．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比数列综合证明

核心方法：统一用 u 与 q 表达 aₙ、bₙ

避坑指南：a2=b2≠a1 强制 u≠0、q≠1；b3=ai 给出 (q−1)(q−i+2)=0，由 q≠1 得 q=i−2；q 的整数性带动”每一项都是 an 的项”的分类（q≥2、q=0、q=−1）

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：等差等比数列的性质与方程思想

结论推广：公差与公比由”第二项相等”绑定：d=u(q−1)

方法推广：双数列问题先写出两个通项的统一参数形式，所有结论都从参数方程里读

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

19.01 等差数列全总结

19.02 等比数列全总结

类题演练(Links)

2010-北京卷文-16 解-等差等比求和

2010-四川卷文-20 解-等差数列错位相减

2010-大纲卷I文-17 解-等差等比求和

2010-上海卷文-21 解-Sn与an递推等比

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2007-江苏卷-20 解-等差等比数列综合证明

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