2010-北京卷文-16 解-等差等比求和

本题导读

考查等差等比综合。$a_n=2n-12$；$b_2=a_1+a_2+a_3=-24$，$q=3$，$S_n=4(1-3^n)$。

📌【题干】

Question

（2010年北京卷(文)） 已知 $\{a_n\}$ 为等差数列，且 $a_3=-6$，$a_6=0$.

(1)求 $\{a_n\}$ 的通项公式；

(2)若等比数列 $\{b_n\}$ 满足 $b_1=-8$，$b_2=a_1+a_2+a_3$，求 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和公式.

🔍【思路分析】

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1. $d=\frac{0-(-6)}{3}=2$，$a_1=-10$，$a_n=2n-12$。
2. $b_2=a_1+a_2+a_3=3a_2=-24$，$q=\frac{b_2}{b_1}=3$。
3. $S_n=\frac{-8(1-3^n)}{1-3}=4(1-3^n)$。

✅【答案】

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(1) $a_n=2n-12$

(2) $S_n=4(1-3^n)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）设公差为 $d$，则 $d=\frac{a_6-a_3}{6-3}=\frac{0-(-6)}{3}=2,$ $a_1=a_3-2d=-6-4=-10$， 故 $a_n=-10+2(n-1)=2n-12$。 （2）由（1），$a_1=-10$，$a_2=-8$，$a_3=-6$， $b_2=a_1+a_2+a_3=-24,$ 公比 $q=\frac{b_2}{b_1}=\frac{-24}{-8}=3$。 所以 $\{b_n\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}=\frac{-8(1-3^n)}{1-3}=4(1-3^n).$

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差等比的基本量法

核心方法：等差定 $d$ 求通项，等比定 $q$ 套求和公式

避坑指南：$b_2=a_1+a_2+a_3=3a_2$（等差中项），不必逐项加；$q=\frac{b_2}{b_1}$ 两个负数相除得正 $3$，符号要稳。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：$a_6-a_3=3d$：下标差几就差几个 $d$。

结论推广：等比求和 $S_n=\frac{b_1(1-q^n)}{1-q}$，$q\ne 1$ 时使用。

方法推广：前 $n$ 项和结果可代 $n=1$ 检验：$S_1=4(1-3)=-8=b_1$。

🔗【关联脉络】

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