2010-大纲卷I文-17 解-等差等比求和

本题导读

考查等差等比综合。 $a_{2} = 4$ ， $16 = 2 a_{1} (9 - a_{1})$ ， $a_{1} = 1$ 或 $8$ ； $S_{n} = \frac{1}{2} n (3 n - 1)$ 或 $S_{n} = 2 n (5 - n)$ 。

📌【题干】

Question

（2010年大纲卷I(文)）记等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项的和为 $S_{n}$ ，设 $S_{3} = 12$ ，且 $2 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ 成等比数列，求 $S_{n}$ .

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$S_{3} = 3 a_{2} = 12$ ， $a_{2} = 4$ ， $d = 4 - a_{1}$ ， $a_{3} = 8 - a_{1}$ 。

等比条件： $a_{2}^{2} = 2 a_{1} (a_{3} + 1)$ ，即 $16 = 2 a_{1} (9 - a_{1})$ 。

$a_{1}^{2} - 9 a_{1} + 8 = 0$ ， $a_{1} = 1$ 或 $a_{1} = 8$ 。

$a_{1} = 1, d = 3$ ： $S_{n} = \frac{1}{2} n (3 n - 1)$ ； $a_{1} = 8, d = - 4$ ： $S_{n} = 2 n (5 - n)$ 。

✅【答案】

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$S_{n} = \frac{1}{2} n (3 n - 1)$ 或 $S_{n} = 2 n (5 - n)$

✍【详细解析】

Abstract

设首项为 $a_{1}$ ，公差为 $d$ 。由 $S_{3} = 12$ 得 $S_{3} = \frac{3}{2} (2 a_{1} + 2 d) = 3 (a_{1} + d) = 3 a_{2} = 12,$ 所以 $a_{2} = 4$ ， $d = 4 - a_{1}$ ， $a_{3} = a_{1} + 2 d = 8 - a_{1}$ 。由 $2 a_{1}$ ， $a_{2}$ ， $a_{3} + 1$ 成等比数列，得 $a_{2}^{2} = 2 a_{1} (a_{3} + 1) ⟺ 16 = 2 a_{1} (9 - a_{1}) ⟺ a_{1}^{2} - 9 a_{1} + 8 = 0,$ 解得 $a_{1} = 1$ 或 $a_{1} = 8$ 。当 $a_{1} = 1$ 时， $d = 3$ ， $S_{n} = \frac{n}{2} [2 + 3 (n - 1)] = \frac{1}{2} n (3 n - 1)$ ；当 $a_{1} = 8$ 时， $d = - 4$ ， $S_{n} = \frac{n}{2} [16 - 4 (n - 1)] = 2 n (5 - n)$ 。故 $S_{n} = \frac{1}{2} n (3 n - 1)$ 或 $S_{n} = 2 n (5 - n)$ 。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：等差数列求和与等比中项

核心方法： $S_{3} = 3 a_{2}$ 速定 $a_{2}$ ，等比条件化 $a_{1}$ 的二次方程

避坑指南：二次方程两根 $a_{1} = 1$ 与 $a_{1} = 8$ 都合法（都使三项成等比），必须分类各写一个 $S_{n}$ ，漏解是主要失分点。

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：奇数项和的中项公式 $S_{3} = 3 a_{2}$ 把条件浓缩为一条。

结论推广：等比中项 $a_{2}^{2} = 2 a_{1} (a_{3} + 1)$ 注意是 $a_{3} + 1$ 整体。

方法推广：解出多组基本量时逐一回代验证等比条件，再分别作答。

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2010-大纲卷I文-17 解-等差等比求和

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