2007-江西卷文-17 解-分段函数连续与解不等式

本题导读

本题考查分段函数。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(文)） 已知函数 $f(x)=\{\begin{array}{ll}cx+1,& 0<x<c,\\ 2^{-\frac{x}{c^2}}+1,& c⩽x<1,\end{array}$ 在区间 $(0,1)$ 内连续，且 $f(c^2)=\frac{9}{8}$． （1）求常数 $c$ 的值； （2）解不等式 $f(x)>\frac{\sqrt{2}}{8}+1$．

🔍【思路分析】

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（1）由 $f(c^2)$ 有意义且 $c^2\in (0,1)$，若 $-1<c<0$ 则 $c<c^2$，$f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne \frac{9}{8}$，故 $0<c<1$，$c^2<c$，$f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}\Rightarrow c=\frac{1}{2}$。 （2）$c=\frac{1}{2}$ 时 $f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}+1,& 0<x<\frac{1}{2}\\ 2^{-4x}+1,& \frac{1}{2}⩽x<1\end{array}$，分段解 $f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}$，合并解集。

✅【答案】

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（1）$c=\frac{1}{2}$；（2）解集为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$

✍【详细解析】

Abstract

（1）由 $f(c^2)$ 有意义且定义域为 $(0,1)$，得 $c^2\in (0,1)$．若 $-1<c<0$，则 $c<c^2<1$，由第二段 $f(c^2)=2^{-\frac{c^2}{c^2}}+1=\frac{3}{2}\ne \frac{9}{8}$，矛盾，故 $0<c<1$． 于是 $c^2<c$，$f(c^2)=c\cdot c^2+1=c^3+1=\frac{9}{8}$，解得 $c=\frac{1}{2}$． 此时在分界点 $x=c=\frac{1}{2}$ 处，左侧极限 ${\left(\frac{1}{2}\right)}^2+1=\frac{5}{4}$，右侧函数值 $2^{-\frac{1/2}{(1/2{)}^2}}+1=2^{-2}+1=\frac{5}{4}$，满足连续性． （2）当 $c=\frac{1}{2}$ 时，$f(x)=\{\begin{array}{ll}\frac{x}{2}+1,& 0<x<\frac{1}{2}\\ 2^{-4x}+1,& \frac{1}{2}⩽x<1\end{array}$，不等式为 $f(x)>1+\frac{\sqrt{2}}{8}$． 当 $0<x<\frac{1}{2}$：$\frac{x}{2}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}\iff x>\frac{\sqrt{2}}{4}$，得 $\frac{\sqrt{2}}{4}<x<\frac{1}{2}$． 当 $\frac{1}{2}⩽x<1$：$2^{-4x}+1>1+\frac{\sqrt{2}}{8}$，而 $\frac{\sqrt{2}}{8}=2^{-5/2}$，故 $2^{-4x}>2^{-5/2}\iff -4x>-\frac{5}{2}\iff x<\frac{5}{8}$，得 $\frac{1}{2}⩽x<\frac{5}{8}$． 合并两段，原不等式解集为 $\left(\frac{\sqrt{2}}{4},\frac{5}{8}\right)$．

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：分段函数连续与解不等式

核心方法：连续性确定 $c=\frac{1}{2}$（用 $f(c^2)$ 定位分段）；分段解不等式合并

避坑指南：先判 $c$ 的符号决定 $c^2$ 与 $c$ 的大小关系；分段不等式结果要与定义域取交

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：分段函数连续性与解不等式，函数综合题

结论推广：分段函数在分界点连续 $\iff$ 左极限=右极限=函数值

方法推广：分段不等式分段解、结果与各段定义域取交再并

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点(Nodes)

• 05.01 函数的概念
• 03.01 不等式解法体系

类题演练(Links)

• 2008-山东卷文-05 单-分段函数复合求值
• 2008-天津卷文-08 单-分段函数不等式
• 2007-新课标卷文-24 解-绝对值不等式与分段函数最值
• 2009-天津卷文-08 单-分段函数不等式