2007-江西卷理-01 单-复数四则运算分母实数化

本题导读

本题考查复数的基本代数运算。核心在于先展开分母的完全平方，再通过分子分母同时乘分母的共轭复数进行分式化简。

📌【题干】

Question

（2007年江西卷(理)） 化简 $\frac{2+4\text{i}}{(1+\text{i}{)}^2}$ 的结果是()

A. $2+\text{i}$　　　　B. $-2+\text{i}$　　　　C. $2-\text{i}$　　　　D. $-2-\text{i}$

🔍【思路分析】

破题导航

1. 先对分母进行化简，利用完全平方公式： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2=2\text{i}$。

2. 将分母代回原式，进行复数除法运算： $\frac{2+4\text{i}}{2\text{i}}=\frac{1+2\text{i}}{\text{i}}$。

3. 分子分母同乘以 $-\text{i}$ 或将 $\text{i}$ 分离求解。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

解：首先对分母部分进行展开化简： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}+{\text{i}}^2$ 因为 ${\text{i}}^2=-1$，代入得： $(1+\text{i}{)}^2=1+2\text{i}-1=2\text{i}$

将分母代回原式分式中： $\frac{2+4\text{i}}{(1+\text{i}{)}^2}=\frac{2+4\text{i}}{2\text{i}}$ 分子分母同时约去公因子 2： $\frac{2+4\text{i}}{2\text{i}}=\frac{1+2\text{i}}{\text{i}}$ 分式两边拆开或分子分母同乘以 $-\text{i}$： $\frac{1}{\text{i}}+\frac{2\text{i}}{\text{i}}=-\text{i}+2=2-\text{i}$

故选：C。

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

1. 核心考点：虚数单位 $\text{i}$ 的幂次性质、复数除法。
2. 核心方法：常用恒等变形法（记住 $(1\pm \text{i}{)}^2=\pm 2\text{i}$ 可以极大加快运算速度）。
3. 避坑指南：

• 避免在展开 $(1+\text{i}{)}^2$ 时把中间项 $2\text{i}$ 漏掉或符号弄错。

📖【试题探源与推广】

Tip

1. 试题探源: 本题属于高考传统高频考查的复数基础运算题，主要测试复数基本定义的严谨性。

2. 结论推广: 一般地， $\frac{a+b\text{i}}{(1+\text{i}{)}^2}=\frac{a+b\text{i}}{2\text{i}}=\frac{b}{2}-\frac{a}{2}\text{i}$。

🔗【关联脉络】

Multi column

知识锚点 (Nodes)

• 12.01 数系的扩充与复数

类题演练 (Links)

• 2012-大纲卷理-01 单-复数
• 2020-新高考I卷-02 单-复数运算