2007-浙江卷文-02 单-诱导公式求值

本题导读

本题考查诱导公式，以及同角三角函数关系。

📌【题干】

Question

（2007年浙江卷(文)） 已知 $\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$，且 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，则 $\tan \phi =$ ()

A. $-\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　B. $\frac{\sqrt{3}}{3}$　　　　　　　C. $-\sqrt{3}$　　　　　　　D. $\sqrt{3}$

🔍【思路分析】

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1. 诱导公式：$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi$。
2. 由 $-\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$ 得 $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$；结合 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 定 $\phi$。
3. 再求正切值。

✅【答案】

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C

✍【详细解析】

Abstract

由诱导公式，$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$，所以 $\sin \phi =-\frac{\sqrt{3}}{2}$． 因为 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$，所以 $\phi =-\frac{\pi }{3}$，故 $\tan \phi =\tan \left(-\frac{\pi }{3}\right)=-\sqrt{3}$． 故选 C． （易错点：$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi$ 中的负号易丢，丢号会得 $\sin \phi =\frac{\sqrt{3}}{2}$、$\phi =\frac{\pi }{3}$、$\tan \phi =\sqrt{3}$ 误选 D。）

💡【考点归纳与避坑指南】

Danger

核心考点：诱导公式求值

核心方法：诱导公式链：$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi$，先化同名再定角

避坑指南：”$\frac{\pi }{2}\pm \alpha$ 变名、符号看象限”中负号易丢；范围条件 $|\phi |<\frac{\pi }{2}$ 是定角关键，别取多解

📖【试题探源与推广】

Tip

试题探源：诱导公式求值是三角板块的第一块基石，各省卷首选填空/选择考点

结论推广：$\cos \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=-\sin \phi$ 与 $\sin \left(\frac{\pi }{2}+\phi \right)=\cos \phi$ 成对出现，互余关系一图记牢

方法推广：遇到 $\frac{\pi }{2}\pm \alpha$、$\pi \pm \alpha$ 先统一变名为 $\sin$ 或 $\cos$，再结合角的范围定值

🔗【关联脉络】

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知识锚点(Nodes)

• 07.02 三角函数的定义与诱导公式

类题演练(Links)

• 2022-高考浙江卷-13
• 2021-乙卷文-06 单-三角恒等变换
• 2019-全国卷I文-15 填-诱导公式
• 2007-大纲卷II文-01 单-诱导公式求值